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9 votos

El espacio de la tangente de un punto de una variedad algebraica

Deje V ser un no-singular afín variedad en Cn. V puede ser considerado como un complejo colector. Deje p=(a1,,an) ser un punto de V. Deje Op ser el anillo local de Vp. Un vector tangente v p es una derivación OpC, es decir, un C-lineal mapa de v tal que v(fg)=v(f)g(p)+f(p)v(g)f,gOp. Deje Tp el conjunto de vectores tangente a p. Consideramos que Tp como un espacio vectorial sobre C en la forma obvia.

Por otro lado, podemos definir un espacio de la tangente en p como sigue. Deje f1,fr ser la definición de polinomios para V. Deje Li ser el hyperplane definido por kfixk(p)(xkak)=0. Deje Sp=iLi.

Se Tp Sp(o más bien el espacio vectorial adjunto) canónicamente isomorfos?

7voto

Nir Puntos 136

Sí, hay un isomorfismo canónico de C-espacios vectoriales i:SX,pTX,p=Der(OX,p,C) If one starts with a vector v=(v1,...,vn)\enSp\subconjuntoCn (so that kfixk(p)vk=0), the isomorphism i associates to it the derivation i(v)=v defined on OX,p by the formula v(g)=kgxk(p)vk where gOX,p es arbitraria local de la función.
A la inversa isomorfismo es dado por i1:Der(OX,p,C)SX,p:(x1,...,xn)

Editar
El espacio vectorial de derivaciones también es isomorfo a Zariski del espacio de la tangente (mp/m2p), que se define a través de la máxima ideal mpOX,p.
El isomorfismo es Der(OX,p)(mp/m2p):¯ where ¯(gmodm2p)=\parcial(g) for g\enmp.

Segunda Edición
La siguiente observación puede ser de algún interés, ya que no parece ser abordados en la Geometría Algebraica de los libros:
Si XAnk es un afín algebraicas variedad y si pX, podemos considerar que el ideal maximal MpO(X) del global de las funciones de fuga en p.
También podemos considerar, como ya lo hicimos, el ideal maximal mpOX,p de los gérmenes de funciones regulares ay p y de fuga en p.
Entonces tenemos una natural k-lineal mapa de Mp/M2pmp/m2p y el un poco sorprendente, pero agradable hecho es que este lineales mapa es un isomorfismo.

1voto

kubi Puntos 20607

Lema 1 Deje A ser un local de álgebra sobre un campo k. Deje m ser el único ideal maximal de a A. Supongamos que el canónica homomorphism kA/m es un isomorfismo. Deje fA. No existe una única ck tal que fc (mod m). Denotamos esta cf(0). Llamamos a un k-lineal mapa de v:Ak una derivación si v(fg)=v(f)g(0)+f(0)v(g)f,gA. Deje Der(A,k) el conjunto de derivaciones. Consideramos que Der(A,k) como un espacio vectorial sobre k en la forma obvia. Deje vDer(A,k). Si f,gm, v(fg)=v(f)g(0)+f(0)v(g)=0. Por lo tanto v(m2)=0. Por lo tanto v induce una k-lineal mapa de ˉv:m/m2k. Por lo tanto tenemos una k-lineal mapa de ψ:Der(A,k)(m/m2). A continuación, ψ un isomorfismo.

Prueba: Esto está demostrado aquí

Lema 2 Deje k ser un campo. Deje Li=nk=1aikxk,i=1,,r ser lineal de los polinomios en k[x1,,xn]. Deje T sea el subespacio vectorial {vkn|Li(v)=0 todos los i}kn. Deje W sea el subespacio vectorial de kn generado por Li(e1,,en) todos los i donde {e1,,en} es la base canónica de kn. A continuación, T es canónicamente isomorfo a (kn/W).

Prueba: Un elemento de (kn/W) se identifica con un lineal mapa de f:knk tal que f(W)=0. En este mapa se f está determinada únicamente por la condición de nk=1aikf(ek)=0,i=1,,r. De ahí la afirmación de la siguiente manera. QED

La proposición Deje A=k[x1,,xn] ser el polinomio anillo de más de k. Deje I a ser un ideal de a A generado por F1,,Fr. Deje B=A/I. Deje p=(a1,,an) ser un punto de kn tal que Fi(p)=0 todos los i. Deje M=(x1a1,,xnan) ser el ideal maximal de a A. Deje m=M/I. Deje Li=kFixk(p)xki=1,,r. Deje T sea el subespacio vectorial {vkn|Li(v)=0 todos los i}kn. A continuación, T es canónicamente isomorfo a Der(Bm,k).

Prueba: m/m2 es canónicamente isomorfo a M/(I+M2). M/M2 k- espacio vectorial con base ˉx1,,ˉxn donde ˉxi=xi (mod M2). Deje FI. Desde F(p)=0, F=kFxk(p)(xkak)+. Por lo tanto (I+M2)/M2 es un subespacio vectorial de M/M2 generado por Li(ˉx1,,ˉxn) todos los i. De ahí la afirmación sigue por el Lema 1 y Lema 2. QED

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