Lema 1
Deje A ser un local de álgebra sobre un campo k.
Deje m ser el único ideal maximal de a A.
Supongamos que el canónica homomorphism k→A/m es un isomorfismo.
Deje f∈A.
No existe una única c∈k tal que f≡c (mod m).
Denotamos esta cf(0).
Llamamos a un k-lineal mapa de v:A→k una derivación si v(fg)=v(f)g(0)+f(0)v(g)f,g∈A.
Deje Der(A,k) el conjunto de derivaciones.
Consideramos que Der(A,k) como un espacio vectorial sobre k en la forma obvia.
Deje v∈Der(A,k).
Si f,g∈m, v(fg)=v(f)g(0)+f(0)v(g)=0.
Por lo tanto v(m2)=0.
Por lo tanto v induce una k-lineal mapa de ˉv:m/m2→k.
Por lo tanto tenemos una k-lineal mapa de ψ:Der(A,k)→(m/m2)∗.
A continuación, ψ un isomorfismo.
Prueba:
Esto está demostrado aquí
Lema 2
Deje k ser un campo.
Deje Li=∑nk=1aikxk,i=1,…,r ser lineal de los polinomios en k[x1,…,xn].
Deje T sea el subespacio vectorial {v∈kn|Li(v)=0 todos los i}kn.
Deje W sea el subespacio vectorial de kn generado por Li(e1,…,en) todos los i donde {e1,…,en} es la base canónica de kn.
A continuación, T es canónicamente isomorfo a (kn/W)∗.
Prueba:
Un elemento de (kn/W)∗ se identifica con un lineal mapa de f:kn→k tal que f(W)=0. En este mapa se f está determinada únicamente por la condición de ∑nk=1aikf(ek)=0,i=1,…,r.
De ahí la afirmación de la siguiente manera.
QED
La proposición
Deje A=k[x1,…,xn] ser el polinomio anillo de más de k.
Deje I a ser un ideal de a A generado por F1,…,Fr.
Deje B=A/I.
Deje p=(a1,…,an) ser un punto de kn tal que Fi(p)=0 todos los i.
Deje M=(x1−a1,…,xn−an) ser el ideal maximal de a A.
Deje m=M/I.
Deje Li=∑k∂Fi∂xk(p)xki=1,…,r.
Deje T sea el subespacio vectorial {v∈kn|Li(v)=0 todos los i}kn.
A continuación, T es canónicamente isomorfo a Der(Bm,k).
Prueba:
m/m2 es canónicamente isomorfo a M/(I+M2).
M/M2 k- espacio vectorial con base ˉx1,…,ˉxn donde ˉxi=xi (mod M2).
Deje F∈I.
Desde F(p)=0, F=∑k∂F∂xk(p)(xk−ak)+⋯.
Por lo tanto (I+M2)/M2 es un subespacio vectorial de M/M2 generado por Li(ˉx1,…,ˉxn) todos los i.
De ahí la afirmación sigue por el Lema 1 y Lema 2.
QED