Lema 1
Deje A ser un local de álgebra sobre un campo k.
Deje \mathfrak{m} ser el único ideal maximal de a A.
Supongamos que el canónica homomorphism k \rightarrow A/\mathfrak{m} es un isomorfismo.
Deje f \in A.
No existe una única c \in k tal que f \equiv c (mod \mathfrak{m}).
Denotamos esta cf(0).
Llamamos a un k-lineal mapa de v\colon A \rightarrow k una derivación si v(fg) = v(f)g(0) + f(0)v(g)f, g \in A.
Deje Der(A, k) el conjunto de derivaciones.
Consideramos que Der(A, k) como un espacio vectorial sobre k en la forma obvia.
Deje v \in Der(A, k).
Si f, g \in \mathfrak{m}, v(fg) = v(f)g(0) + f(0)v(g) = 0.
Por lo tanto v(\mathfrak{m}^2) = 0.
Por lo tanto v induce una k-lineal mapa de \bar v\colon \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 \rightarrow k.
Por lo tanto tenemos una k-lineal mapa de \psi\colon Der(A, k) \rightarrow (\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2)^*.
A continuación, \psi un isomorfismo.
Prueba:
Esto está demostrado aquí
Lema 2
Deje k ser un campo.
Deje L_i = \sum_{k = 1}^{n} a_{ik} x_k, i = 1,\dots, r ser lineal de los polinomios en k[x_1,\dots,x_n].
Deje T sea el subespacio vectorial \{v \in k^n| L_i(v) = 0 todos los i\}k^n.
Deje W sea el subespacio vectorial de k^n generado por L_i(e_1,\dots,e_n) todos los i donde \{e_1,\dots,e_n\} es la base canónica de k^n.
A continuación, T es canónicamente isomorfo a (k^n/W)^*.
Prueba:
Un elemento de (k^n/W)^* se identifica con un lineal mapa de f\colon k^n \rightarrow k tal que f(W) = 0. En este mapa se f está determinada únicamente por la condición de \sum_{k = 1}^{n} a_{ik} f(e_k) = 0, i = 1,\dots, r.
De ahí la afirmación de la siguiente manera.
QED
La proposición
Deje A = k[x_1,\dots,x_n] ser el polinomio anillo de más de k.
Deje I a ser un ideal de a A generado por F_1,\dots,F_r.
Deje B = A/I.
Deje p = (a_1,\dots, a_n) ser un punto de k^n tal que F_i(p) = 0 todos los i.
Deje M = (x_1 - a_1,\dots,x_n - a_n) ser el ideal maximal de a A.
Deje \mathfrak{m} = M/I.
Deje L_i = \sum_k \frac{\partial F_i}{\partial x_k}(p)x_ki = 1, \dots, r.
Deje T sea el subespacio vectorial \{v \in k^n| L_i(v) = 0 todos los i\}k^n.
A continuación, T es canónicamente isomorfo a Der(B_{\mathfrak{m}},k).
Prueba:
\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 es canónicamente isomorfo a M/(I + M^2).
M/M^2 k- espacio vectorial con base \bar x_1,\dots,\bar x_n donde \bar x_i = x_i (mod M^2).
Deje F \in I.
Desde F(p) = 0, F = \sum_k \frac{\partial F}{\partial x_k}(p)(x_k - a_k) + \cdots.
Por lo tanto (I + M^2)/M^2 es un subespacio vectorial de M/M^2 generado por L_i(\bar x_1, \dots,\bar x_n) todos los i.
De ahí la afirmación sigue por el Lema 1 y Lema 2.
QED