El espacio de la tangente de un punto de una variedad algebraica

Question

Deje $V$ ser un no-singular afín variedad en $\mathbb{C}^n$. $V$ puede ser considerado como un complejo colector. Deje $p = (a_1,\dots,a_n)$ ser un punto de $V$. Deje $\mathcal{O}_p$ ser el anillo local de $V$$p$. Un vector tangente $v$ $p$ es una derivación $\mathcal{O}_p \rightarrow \mathbb{C}$, es decir, un $\mathbb{C}$-lineal mapa de $v$ tal que $v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g)$$f, g \in \mathcal{O}_p$. Deje $T_p$ el conjunto de vectores tangente a $p$. Consideramos que $T_p$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ en la forma obvia.

Por otro lado, podemos definir un espacio de la tangente en $p$ como sigue. Deje $f_1,\dots f_r$ ser la definición de polinomios para $V$. Deje $L_i$ ser el hyperplane definido por $\sum_k \frac{\partial f_i}{\partial x_k}(p)(x_k - a_k) = 0$. Deje $S_p = \bigcap_i L_i$.

Se $T_p$ $S_p$(o más bien el espacio vectorial adjunto) canónicamente isomorfos?

Answer 1

Sí, hay un isomorfismo canónico de $\mathbb C$-espacios vectoriales $$i:S_{X,p}\stackrel {\cong}{\to} T_{X,p}=Der(\mathcal O_{X,p}, \mathbb C)$$ If one starts with a vector $v=(v_1,...,v_n)\en S_p\subconjunto \mathbb C^n$ (so that $\sum_k \frac{\partial f_i}{\partial x_k}(p)v_k = 0$), the isomorphism $i$ associates to it the derivation $i(v)=\partial _v$ defined on $\mathcal O_{X,p}$ by the formula $$\partial_v(g)=\sum_k \frac{\partial g}{\partial x_k}(p)v_k$$ where $g\in \mathcal O_{X,p}$ es arbitraria local de la función.
A la inversa isomorfismo es dado por $$i^{-1}: Der(\mathcal O_{X,p},\mathbb C) \stackrel {\cong}{\to} S_{X,p} :\partial \mapsto (\partial x_1,...,\partial x_n)$$

Editar
El espacio vectorial de derivaciones también es isomorfo a Zariski del espacio de la tangente $(\frak m_p/\frak m^2_p)^*$, que se define a través de la máxima ideal $\mathfrak m_p\subset \mathcal O_{X,p}$.
El isomorfismo es $$Der(\mathcal O_{X,p} ) \stackrel {\cong}{\to} (\frak m_p/\frak m^2_p)^*:\partial \mapsto \overline{\partial}$$ where $\overline{\partial} (g \;\text {mod} \;m^2_p)=\parcial (g)$ for $g\en \frak m_p$.

Segunda Edición
La siguiente observación puede ser de algún interés, ya que no parece ser abordados en la Geometría Algebraica de los libros:
Si $X\subset \mathbb A^n_k$ es un afín algebraicas variedad y si $p\in X$, podemos considerar que el ideal maximal $M_p\subset \mathcal O(X)$ del global de las funciones de fuga en $p$.
También podemos considerar, como ya lo hicimos, el ideal maximal $\mathfrak m_p\subset \mathcal O_{X,p}$ de los gérmenes de funciones regulares ay $p$ y de fuga en $p$.
Entonces tenemos una natural $k$-lineal mapa de $M_p/M_p^2 \to \mathfrak m_p/\mathfrak m_p^2$ y el un poco sorprendente, pero agradable hecho es que este lineales mapa es un isomorfismo.

Answer 2

Lema 1 Deje $A$ ser un local de álgebra sobre un campo $k$. Deje $\mathfrak{m}$ ser el único ideal maximal de a $A$. Supongamos que el canónica homomorphism $k \rightarrow A/\mathfrak{m}$ es un isomorfismo. Deje $f \in A$. No existe una única $c \in k$ tal que $f \equiv c$ (mod $\mathfrak{m}$). Denotamos esta $c$$f(0)$. Llamamos a un $k$-lineal mapa de $v\colon A \rightarrow k$ una derivación si $v(fg) = v(f)g(0) + f(0)v(g)$$f, g \in A$. Deje $Der(A, k)$ el conjunto de derivaciones. Consideramos que $Der(A, k)$ como un espacio vectorial sobre $k$ en la forma obvia. Deje $v \in Der(A, k)$. Si $f, g \in \mathfrak{m}$, $v(fg) = v(f)g(0) + f(0)v(g) = 0$. Por lo tanto $v(\mathfrak{m}^2) = 0$. Por lo tanto $v$ induce una $k$-lineal mapa de $\bar v\colon \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 \rightarrow k$. Por lo tanto tenemos una $k$-lineal mapa de $\psi\colon Der(A, k) \rightarrow (\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2)^*$. A continuación, $\psi$ un isomorfismo.

Prueba: Esto está demostrado aquí

Lema 2 Deje $k$ ser un campo. Deje $L_i = \sum_{k = 1}^{n} a_{ik} x_k, i = 1,\dots, r$ ser lineal de los polinomios en $k[x_1,\dots,x_n]$. Deje $T$ sea el subespacio vectorial $\{v \in k^n| L_i(v) = 0$ todos los $i\}$$k^n$. Deje $W$ sea el subespacio vectorial de $k^n$ generado por $L_i(e_1,\dots,e_n)$ todos los $i$ donde $\{e_1,\dots,e_n\}$ es la base canónica de $k^n$. A continuación, $T$ es canónicamente isomorfo a $(k^n/W)^*$.

Prueba: Un elemento de $(k^n/W)^*$ se identifica con un lineal mapa de $f\colon k^n \rightarrow k$ tal que $f(W) = 0$. En este mapa se $f$ está determinada únicamente por la condición de $\sum_{k = 1}^{n} a_{ik} f(e_k) = 0, i = 1,\dots, r$. De ahí la afirmación de la siguiente manera. QED

La proposición Deje $A = k[x_1,\dots,x_n]$ ser el polinomio anillo de más de $k$. Deje $I$ a ser un ideal de a $A$ generado por $F_1,\dots,F_r$. Deje $B = A/I$. Deje $p = (a_1,\dots, a_n)$ ser un punto de $k^n$ tal que $F_i(p) = 0$ todos los $i$. Deje $M = (x_1 - a_1,\dots,x_n - a_n)$ ser el ideal maximal de a $A$. Deje $\mathfrak{m} = M/I$. Deje $L_i = \sum_k \frac{\partial F_i}{\partial x_k}(p)x_k$$i = 1, \dots, r$. Deje $T$ sea el subespacio vectorial $\{v \in k^n| L_i(v) = 0$ todos los $i\}$$k^n$. A continuación, $T$ es canónicamente isomorfo a $Der(B_{\mathfrak{m}},k)$.

Prueba: $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ es canónicamente isomorfo a $M/(I + M^2)$. $M/M^2$ $k$- espacio vectorial con base $\bar x_1,\dots,\bar x_n$ donde $\bar x_i = x_i$ (mod $M^2$). Deje $F \in I$. Desde $F(p) = 0$, $F = \sum_k \frac{\partial F}{\partial x_k}(p)(x_k - a_k) + \cdots$. Por lo tanto $(I + M^2)/M^2$ es un subespacio vectorial de $M/M^2$ generado por $L_i(\bar x_1, \dots,\bar x_n)$ todos los $i$. De ahí la afirmación sigue por el Lema 1 y Lema 2. QED