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El espacio de la tangente de un punto de una variedad algebraica

Deje V ser un no-singular afín variedad en \mathbb{C}^n. V puede ser considerado como un complejo colector. Deje p = (a_1,\dots,a_n) ser un punto de V. Deje \mathcal{O}_p ser el anillo local de Vp. Un vector tangente v p es una derivación \mathcal{O}_p \rightarrow \mathbb{C}, es decir, un \mathbb{C}-lineal mapa de v tal que v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g)f, g \in \mathcal{O}_p. Deje T_p el conjunto de vectores tangente a p. Consideramos que T_p como un espacio vectorial sobre \mathbb{C} en la forma obvia.

Por otro lado, podemos definir un espacio de la tangente en p como sigue. Deje f_1,\dots f_r ser la definición de polinomios para V. Deje L_i ser el hyperplane definido por \sum_k \frac{\partial f_i}{\partial x_k}(p)(x_k - a_k) = 0. Deje S_p = \bigcap_i L_i.

Se T_p S_p(o más bien el espacio vectorial adjunto) canónicamente isomorfos?

7voto

Nir Puntos 136

Sí, hay un isomorfismo canónico de \mathbb C-espacios vectoriales i:S_{X,p}\stackrel {\cong}{\to} T_{X,p}=Der(\mathcal O_{X,p}, \mathbb C) If one starts with a vector v=(v_1,...,v_n)\en S_p\subconjunto \mathbb C^n (so that \sum_k \frac{\partial f_i}{\partial x_k}(p)v_k = 0), the isomorphism i associates to it the derivation i(v)=\partial _v defined on \mathcal O_{X,p} by the formula \partial_v(g)=\sum_k \frac{\partial g}{\partial x_k}(p)v_k where g\in \mathcal O_{X,p} es arbitraria local de la función.
A la inversa isomorfismo es dado por i^{-1}: Der(\mathcal O_{X,p},\mathbb C) \stackrel {\cong}{\to} S_{X,p} :\partial \mapsto (\partial x_1,...,\partial x_n)

Editar
El espacio vectorial de derivaciones también es isomorfo a Zariski del espacio de la tangente (\frak m_p/\frak m^2_p)^*, que se define a través de la máxima ideal \mathfrak m_p\subset \mathcal O_{X,p}.
El isomorfismo es Der(\mathcal O_{X,p} ) \stackrel {\cong}{\to} (\frak m_p/\frak m^2_p)^*:\partial \mapsto \overline{\partial} where \overline{\partial} (g \;\text {mod} \;m^2_p)=\parcial (g) for g\en \frak m_p.

Segunda Edición
La siguiente observación puede ser de algún interés, ya que no parece ser abordados en la Geometría Algebraica de los libros:
Si X\subset \mathbb A^n_k es un afín algebraicas variedad y si p\in X, podemos considerar que el ideal maximal M_p\subset \mathcal O(X) del global de las funciones de fuga en p.
También podemos considerar, como ya lo hicimos, el ideal maximal \mathfrak m_p\subset \mathcal O_{X,p} de los gérmenes de funciones regulares ay p y de fuga en p.
Entonces tenemos una natural k-lineal mapa de M_p/M_p^2 \to \mathfrak m_p/\mathfrak m_p^2 y el un poco sorprendente, pero agradable hecho es que este lineales mapa es un isomorfismo.

1voto

kubi Puntos 20607

Lema 1 Deje A ser un local de álgebra sobre un campo k. Deje \mathfrak{m} ser el único ideal maximal de a A. Supongamos que el canónica homomorphism k \rightarrow A/\mathfrak{m} es un isomorfismo. Deje f \in A. No existe una única c \in k tal que f \equiv c (mod \mathfrak{m}). Denotamos esta cf(0). Llamamos a un k-lineal mapa de v\colon A \rightarrow k una derivación si v(fg) = v(f)g(0) + f(0)v(g)f, g \in A. Deje Der(A, k) el conjunto de derivaciones. Consideramos que Der(A, k) como un espacio vectorial sobre k en la forma obvia. Deje v \in Der(A, k). Si f, g \in \mathfrak{m}, v(fg) = v(f)g(0) + f(0)v(g) = 0. Por lo tanto v(\mathfrak{m}^2) = 0. Por lo tanto v induce una k-lineal mapa de \bar v\colon \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 \rightarrow k. Por lo tanto tenemos una k-lineal mapa de \psi\colon Der(A, k) \rightarrow (\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2)^*. A continuación, \psi un isomorfismo.

Prueba: Esto está demostrado aquí

Lema 2 Deje k ser un campo. Deje L_i = \sum_{k = 1}^{n} a_{ik} x_k, i = 1,\dots, r ser lineal de los polinomios en k[x_1,\dots,x_n]. Deje T sea el subespacio vectorial \{v \in k^n| L_i(v) = 0 todos los i\}k^n. Deje W sea el subespacio vectorial de k^n generado por L_i(e_1,\dots,e_n) todos los i donde \{e_1,\dots,e_n\} es la base canónica de k^n. A continuación, T es canónicamente isomorfo a (k^n/W)^*.

Prueba: Un elemento de (k^n/W)^* se identifica con un lineal mapa de f\colon k^n \rightarrow k tal que f(W) = 0. En este mapa se f está determinada únicamente por la condición de \sum_{k = 1}^{n} a_{ik} f(e_k) = 0, i = 1,\dots, r. De ahí la afirmación de la siguiente manera. QED

La proposición Deje A = k[x_1,\dots,x_n] ser el polinomio anillo de más de k. Deje I a ser un ideal de a A generado por F_1,\dots,F_r. Deje B = A/I. Deje p = (a_1,\dots, a_n) ser un punto de k^n tal que F_i(p) = 0 todos los i. Deje M = (x_1 - a_1,\dots,x_n - a_n) ser el ideal maximal de a A. Deje \mathfrak{m} = M/I. Deje L_i = \sum_k \frac{\partial F_i}{\partial x_k}(p)x_ki = 1, \dots, r. Deje T sea el subespacio vectorial \{v \in k^n| L_i(v) = 0 todos los i\}k^n. A continuación, T es canónicamente isomorfo a Der(B_{\mathfrak{m}},k).

Prueba: \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 es canónicamente isomorfo a M/(I + M^2). M/M^2 k- espacio vectorial con base \bar x_1,\dots,\bar x_n donde \bar x_i = x_i (mod M^2). Deje F \in I. Desde F(p) = 0, F = \sum_k \frac{\partial F}{\partial x_k}(p)(x_k - a_k) + \cdots. Por lo tanto (I + M^2)/M^2 es un subespacio vectorial de M/M^2 generado por L_i(\bar x_1, \dots,\bar x_n) todos los i. De ahí la afirmación sigue por el Lema 1 y Lema 2. QED

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