En la mecánica cuántica(QM), podemos definir una alta dimensión de "spin" momentum angular distinta de la ordinaria en 3D?

Question

Inspirado por mi anterior pregunta Preguntas acerca del momento angular y de 3 dimensiones(3D) en el espacio? y otra pregunta de Cómo definir el momento angular en otros de tres dimensiones? ahora tengo otra pregunta:

En la mecánica clásica(CM), para un $n$-dimensiones del espacio, el momento angular orbital( un tensor antisimétrico) se define como el $L_{ij}=x_ip_j-x_jp_i$ donde $i,j=1,2,...,n$. En QM, después de la cuantización canónica, el impulso angular orbital $L_{ij}$ se convierten en algunos de Hermitian operadores y satisfacen las siguientes relaciones de conmutación,

$[L_{ij},L_{kl}]=i\delta_{jk}L_{li}+i\delta_{li}L_{kj}+i\delta_{jl}L_{ik}+i\delta_{ik}L_{jl} \tag{1}.$

Y, como sabemos, en QM, un 3D momento angular $S=(S_x,S_y,S_z)$ se llama spin sólo si $S^2_x+S^2_y+S^2_z=S(S+1) \mathbb i,$ donde $\mathbb i$ es el operador identidad.

Así, en QM, de manera más general, podemos definir un $n$-dimensional "spin" $S_{ij}$ $(i,j=1,2,...,n)$, donde $S_{ij}$ es un tensor antisimétrico y se Hermitian operadores que satisfacen eqn$(1)$, más $\sum S_{ij}^2=$número real$\times \mathbb i$ ?

Por cierto: Más preguntas relativas a la definición de grupos de rotación para el momento angular se puede encontrar aquí , que están interesados en mayo de echar un vistazo, gracias.

Answer 1

Primero que todo, les quiero comentar que, al menos en 3D caso, la declaración de que nos imponen algo de impulso-como los desplazamientos de los operadores de $S_i$ la relación $S_x^2+S_y^2+S_z^2=S(S+1)I$ es más o menos tautologic, ya que en general se sigue de las relaciones de conmutación de que la CARTA puede ser fundido (por un cambio de base) a bloque-diagonal de la forma, donde cada bloque tiene exactamente la forma que desee.

En 3D caso, el requisito de casi medio irreductibilidad de la representación de la $SO(3)$ que $S_i$ son los generadores (sin embargo, todavía puedo considerar la representación reducible $3\oplus3$ donde $2$ es la habitual de 3 dimensiones spin-1 representación vectorial, por lo que su ecuación con la suma de los cuadrados aún se mantiene). En las dimensiones superiores, creo que no tiene buen matemático de interpretación. Se dice que fijan el valor de la cuadrática casimir, pero hay otras casimirs, así que parece que incluso se puede mezclar diferentes representaciones irreducibles en una reducible. Sin embargo, aquí no estoy seguro, así que uno puede querer que se me corrija.

Sin embargo, usted está preguntando acerca de la búsqueda de un conjunto de operadores con relaciones de conmutación los de $so(n)$ que admitir una determinada ecuación. Esta ecuación es, básicamente, la fijación del valor de la llamada cuadrática casimir. Por lo tanto, debido a la agradable propiedades de $so(n)$ (simplicidad, etc), creo que la respuesta es: encontrar todos los irreductible representantes de $so(n)$ y escoger una suma directa de repeticiones con el mismo valor de la cuadrática casimir.

Sin embargo, todo esto fue más o menos acerca de su ecuación de $S_x^2+S_y^2+S_z^2=S(S+1)I$ y sus generalizaciones. Como cuestión de hecho, no sé si tu generalizada lhs conmuta con todos los generadores, pero es probable (si no lo está, entonces, en la medida de como rhs es propto identidad, esto no tiene sentido, y usted tiene que pensar lo que es el casimir en su base).

Ahora bien, respecto al núcleo de la cuestión -- física noción de giro en las dimensiones superiores. Girar y, más generalmente, el momento angular total es, en un sentido, la regla que dice cómo transformar la función de onda bajo rotaciones. Básicamente, surge debido a que usted no necesita saber cómo transformar la función de onda. Así que, en general, se condujo de nuevo a considiration de irreductible representantes de la rotación de grupo $SO(N)$.

$SO(N)$ tiene una gran cantidad de representaciones, pero para el spin-$1/2$ normalmente se escoge el álgebra de Clifford $Cl(N)$ y construye la Dirac representación (que es, en un sentido fundamental para el Giro(N)). $Cl(N)$ está dado por un conjunto de generadores $\gamma_i$ que obedecen a la relación: $$ \{\gamma_i,\gamma_j\}=2\delta_{ij} $$ a continuación, los generadores de rotaciones (debe agregar $i$ para obtener el hermitian spin operadores): $$ \Sigma_{ij}=\frac{[\gamma_i,\gamma_j]}{4} $$ Por ejemplo, en 3D que se puede recoger $\gamma_i=\sigma_i$ las matrices de Pauli. En 4D de la habitual de las matrices de Dirac son bien conocidos. En general, para $N=2k+1$ hay una representación de $Cl(N)$ $2^k\times2^k$ matrices.