Pregunta acerca de una rotación del cubo?

Question

Acabo de leer un artículo no hace mucho que plantea el siguiente problema:

¿Cuál es el volumen del sólido de revolución generada al girar un cubo unitario en torno a un eje que une dos vértices opuestos?

De modo que la forma generada será de dos conos y una parábola como la curva en el "medio". Espero que tenga sentido. Al principio, traté de encontrar una sección transversal de la estructura resultante y, a continuación, su integración con los discos, pero creo que yo soy más de complicar. ¿Cómo puedo resolver este problema si debo definir mi unidad de cubo en el primer octante con $i, j,$ $k$ (de modo que el eje sería $r(t)=t\langle1,1,1\rangle,0 < t <1$)? Gracias.

Answer 1

Supongamos que el cubo tiene vértices $\{0,1\}^3$ y el eje de revolución es de$(0,0,0)$$(1,1,1)$. El eje tiene una longitud de $\sqrt{3}$.

El uso de productos de puntos, obtenemos que tres de los vértices están en un plano perpendicular al eje a una distancia de $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ $(0,0,0)$ y los otros tres vértices están en un plano perpendicular al eje a una distancia de $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$$(0,0,0)$.

El uso de productos cruzados conseguimos que cada uno de estos seis vértices están a una distancia de $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ desde el eje.

Los vértices en cada uno de estos planos forman un triángulo equilátero centrado en el eje y se hace girar en un ángulo de $\dfrac{\pi}{3}$ unos de otros.

Las líneas de los extremos del eje de los vértices más cercanos a barrer un cono que es $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ alto y tiene un radio de la base de $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$. El volumen total de estas dos conos es $$ 2\cdot\frac13\pi\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2=\frac{4\pi\sqrt{3}}{27}\tag{1} $$ La sección media es un poco más complicado. Tome un cilindro de altura $1$ y radio de $1$, con una línea que conecta los puntos correspondientes en la parte superior e inferior. Dar a la parte superior de un giro de $\alpha$ con respecto a la parte inferior (manteniendo la parte superior y la parte inferior a la misma distancia uno de otro). La proyección de esta línea en un plano que contiene el eje del cilindro y la rotación de los cilindros de los rendimientos de la línea $$ y=(1-x)\cos(\theta)+x\cos(\alpha\theta)\etiqueta{2} $$ donde x es la distancia a lo largo del eje de la parte inferior ($x=0$) a la parte superior ($x=1$) y es la distancia desde el eje. La envolvente de esta familia de líneas es la hipérbola $$ y^2=\sin^2(\alpha/2)(2x-1)^2+\cos^2(\alpha/2)\etiqueta{3} $$ El volumen de la hyperboloid de la revolución es bastante simple de calcular $$ \begin{align} \int_0^1\pi y^2\mathrm{d}x &=\int_0^1\pi\left(\sin^2(\alpha/2)(2x-1)^2+\cos^2(\alpha/2)\right)\mathrm{d}x\\ &=\pi\left(\sin^2(\alpha/2)\frac12\int_{-1}^1t^2\mathrm{d}t+\cos^2(\alpha/2)\right)\\ &=\pi\left(\frac13\sin^2(\alpha/2)+\cos^2(\alpha/2)\right)\\ &=\pi\frac{2+\cos(\alpha)}{3}\tag{4} \end{align} $$ Escalado $(4)$ para la altura y el radio de los rendimientos $$ V=\pi r^2h\frac{2+\cos(\alpha)}{3}\etiqueta{5} $$ En nuestro caso, $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$ rendimiento $\dfrac{2+\cos(\alpha)}{3}=\dfrac56$. Por lo tanto, el volumen de la sección media es $$ \pi\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac56=\frac{5\pi\sqrt{3}}{27}\tag{6} $$ La adición de los volúmenes en $(1)$ $(6)$ obtenemos el volumen total a $\dfrac{\pi}{\sqrt{3}}$.

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El código para la animación de arriba se puede encontrar aquí.

Answer 2

La "parábola-como la curva" en realidad no es una parábola, sino una hyperboloid.

Específicamente, es la curva trazada por un segmento de línea (cualquiera de los bordes del cubo que no termina en el punto en el eje) que gira alrededor de otra recta (el eje de rotación).

Por simplicidad, supongamos que tenemos una línea de la forma $x = a$, $y = bz$ y que estamos girando alrededor de la $z$-eje. A continuación, la superficie barrida por la línea a medida que gira es $x^2 + y^2 = r(z)^2$ donde $r(z) = \sqrt{a^2 + (bz)^2}$ es la distancia de la línea de la $z$-eje en la $x,y$ plano en un determinado valor de $z$. Así que, en general, la superficie está dada por la ecuación $$x^2 + y^2 = a^2 + (bz)^2$$ or, equivalently, $$\frac{1}{a^2}x^2 + \frac{1}{a^2}y^2 - \frac{b^2}{a^2}z^2 = 1$$ que define una circular hyperboloid de una hoja.

Ahora todo lo que necesita hacer es determinar el $a$ $b$ de la media de los bordes del cubo, y ya está todo listo.