Significado físico detrás de dominio de la Frecuencia?

Question

Entiendo su uso y por qué es importante porque transforma diferencial de las ecuaciones algebraicas queridos.. Pero no puedo obtener el significado físico de la nueva forma de la ecuación y el significado de esta transformación.. y también lo que significa para cambiar el dominio de la función ?

Answer 1

En el dominio de la frecuencia, que esencialmente se limite a las funciones de la forma $$ x(t) = e^{\alpha t} \text{ donde } \alpha \in \mathbb{C} $$ Ahora, la derivada de una función es una versión a escala de la misma función porque $$ x'(t) = \alpha e^{\alpha t} $$

Por lo tanto, si se limita a tales funciones, y si el sistema es lineal con coeficientes constantes, entonces la ecuación diferencial se convierte simplemente en una ecuación algebraica para $\alpha$ una vez se divide por $e^{\alpha t}$. Que la ecuación algebraica así que caracteriza a todas las soluciones de la original de la ecuación diferencial que tiene la forma $e^{\alpha t}$.

Ahora, $\Re(e^{\alpha t})$ es una manera exponencial amortiguado onda sinusoidal, donde la parte real de la $\alpha$ determina que la amortiguación y la parte imaginaria de la frecuencia. Por consiguiente, puede ver la transformada de la ecuación como una ecuación que, en lugar de caracterizar a priori completamente de función desconocida (como una ODA), lo que caracteriza a las frecuencias y dampings de las soluciones de la educación a distancia.

Answer 2

De Laplace de la transformación en la forma usual, se aplica a la aparición de procesos (OP) $$f:\ {\mathbb R}_{\geq 0}\to{\mathbb C}\ ,\qquad t\mapsto f(t)\quad(t\geq0)\ .$$ El resultado ${\cal L}f$, definido por $${\cal L}f(s):=\int_0^\infty f(t)e^{-s\, t}\ dt\ ,$$ no tiene interpretación física lo que sea, así que nadie ha mirado a la gráfica de una ${\cal L}f$. Pero la transformación de $f\mapsto{\cal L}f$ tiene interesantes propiedades formales que lo hacen útil en aplicaciones: Diferenciación con respecto a los $t$ se transforma en la multiplicación con $s$, etcétera. Por encima de todas las ${\cal L}$ es inyectiva. Esto implica que a sabiendas de la transformada de Laplace de algunas desconocido OP $f$ es en principio posible para volver a $f$.

Como regla general, la transformación de Laplace y su inversa no es aplicada a los datos, pero para finito de expresiones analíticas, utilizando un conjunto de normas y catálogos.

Contraste esto, la transformación de Fourier se aplica a las señales de tiempo (TS) $$f:\ {\mathbb R}\to{\mathbb C},\qquad t\mapsto f(t)\quad(-\infty<t<\infty)\ .$$ El resultado $$\hat f(\xi):=\int_{-\infty}^\infty f(t)\, e^{-i \xi t}\ dt$$ tiene una interesante interpretación física: El valor de $|f(\xi)|$ dice que la amplitud de la frecuencia de $\xi$ en el TS. Así que mirando la gráfica de $\hat f$ al $f$ es, por ejemplo, una señal de audio analógica, se obtiene información interesante sobre el tipo de música que se está reproduciendo.

La transformada de Fourier se aplica a "resumen" de las funciones en consideraciones teóricas "expresiones analíticas" en muchas aplicaciones donde "soluciones en términos finitos" son deseados, pero también en gran medida a los datos procedentes de muestreadas TS.

Answer 3

en lugar de considerar todos los datos tal y como sucede en los tiempos de dominio; cronológicamente,

considerar el dominio de la frecuencia ; cómo a menudo, los diferentes valores de la ocurrir a lo largo de todo el intervalo de tiempo