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Localizando y tomando los desplazamientos de grado cero con el producto tensorial

Deje que $S$ ser un anillo graduado ( $S_n=0$ para $n<0$ ), $f \in S$ un elemento homogéneo, y $M, N$ dos graduados $S$ -módulos. Estoy tratando de probar que $$(M \otimes_S N)_{(f)} \simeq M_{(f)} \otimes_ {S_{(f)}}N_{(f)},$$ donde $M_{(f)}$ es el componente de grado cero del módulo localizado $M_f$ .

Tengo el mapa $M_{(f)} \otimes_ {S_{(f)}}N_{(f)} \to (M \otimes_S N)_{(f)}$ pero no saben cómo definir su inverso. Apreciaría sugerencias...

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kubi Puntos 20607

Asumimos los conocimientos básicos para los esquemas proyectivos (por ejemplo, Hartshorne).

Deje que $S$ ser un anillo conmutativo graduado ( $S_i=0$ para $i<0$ ). Deje que $S_+ = \bigoplus_ {n>0} S_n$ . $S_+$ es un ideal de S. Deje que Proj( $S$ ) ser el conjunto de ideales primarios homogéneos $ \mathfrak {p}$ de tal manera que $ \mathfrak {p}$ no contiene $S_+$ .

Deje que $f \in S_d$ ( $d > 0$ ). Deje que $D_+(f)$ = $\{ \mathfrak {p} \in $ Proyecto $S$ ); $f$ no está contenida en $ \mathfrak {p}\}$ . $S_f$ es un anillo graduado con graduación $(S_f)_n$ = $\{ \frac {x}{f^k}; x \in S_{n + kd}, k \geq 0\}$ . Denotamos $(S_f)_0$ por $S_{(f)}$ .

Deje que $M$ ser un graduado $S$ -módulo. $M_f$ es un grado $S_f$ -módulo con clasificación $(M_f)_n$ = $\{ \frac {x}{f^k}; x \in M_{n + kd}, k \geq 0\}$ . Denotamos $(M_f)_0$ por $M_{(f)}$ . $M_{(f)}$ es un $S_{(f)}$ -módulo.

Lema 1 Deje que $M$ ser un graduado $S$ -módulo. Deje que $X$ = Proj( $S$ ). Existe un cuasi-coherente $ \mathcal {O}_X$ -módulo $ \tilde M$ de tal manera que $ \tilde M(D_+(f)) = M_{(f)}$ para $f \in S_d$ $(d>0)$ . El homomorfismo de restricción $M(D_+(f)) \rightarrow M(D_+(fg))$ es la canónica $M_{(f)} \rightarrow M_{(fg)}$ .

La prueba es bien conocida.

Deje que $M$ y $N$ ser calificado $S$ -módulos. $M$ y $N$ puede ser considerado como calificado $ \mathbb {Z}$ -módulos. $M \otimes_\mathbb {Z} N$ es un grado $ \mathbb {Z}$ -módulos definiendo $(M \otimes_\mathbb {Z} N)_p = \bigoplus_ {m+n=p} M_m \otimes_\mathbb {Z} N_n$ . Deje que $P$ ser el $ \mathbb {Z}$ -submódulo de $M \otimes_\mathbb {Z} N$ generada por $sx \otimes y - x \otimes sy$ para $x \in M$ , $y \in N$ , $s \in S$ . Desde $M \otimes_S N = (M \otimes_\mathbb {Z} N)/P$ y $P$ es un grado $ \mathbb {Z}$ -submódulo, $M \otimes_S N$ es un grado $S$ -módulo.

Deje que $f \in S_d$ ( $d > 0$ ). Las inyecciones canónicas $M_{(f)} \rightarrow M_f$ , $N_{(f)} \rightarrow N_f$ , $S_{(f)} \rightarrow S_f$ inducir un homomorfismo $M_{(f)} \otimes_ {S_{(f)}} N_{(f)} \rightarrow M_f \otimes_ {S_f} N_f$ .

Desde el isomorfismo canónico $M_f \otimes_ {S_f} N_f \rightarrow (M \otimes_S N)_f$ conserva los grados, obtenemos un homomorfismo:

$$ \lambda_f :M_{(f)} \otimes_ {S_{(f)}} N_{(f)} \rightarrow (M \otimes_S N)_{(f)}.$$

Deje que $x \in M_{md}, y \in N_{nd}$ $(m >0, n> 0)$ .

Luego $ \lambda_f (x/f^m \otimes y/f^n) = (x \otimes y)/f^{m+n}$ .

De ahí que tengamos un morfismo $ \lambda : \tilde M \otimes_ { \mathcal {O}_X} \tilde N \rightarrow (M \otimes_S N)^-$ .

Definimos un $ \mathbb {Z}$ -mapa bilineal $M_m \times N_n \rightarrow M_{(f)} \otimes_ {S_{(f)}} N_{(f)}$ asignando $(x,y)$ a $x/f^m \otimes y/f^n$ (si $m < 0$ escribimos $x/f^m$ para $f^{-m}x/1$ ). Estos mapas inducen una $ \mathbb {Z}$ -mapa lineal $M \otimes_ { \mathbb {Z}} N \rightarrow M_{(f)} \otimes_ {S_{(f)}} N_{(f)}$ . Si $s \in S_q$ , $x \in M_m, y \in N_n$ este mapa envía $sx \otimes y$ y $x \otimes sy$ a la misma $s/f^q(x/f^m \otimes y/f^n)$ . De ahí que tengamos un homomorfismo $ \gamma_f :M \otimes_S N \rightarrow M_{(f)} \otimes_ {S_{(f)}} N_{(f)}$ . Si consideramos $S_{(f)}$ como un $S$ -algebra por el homomorfismo canónico $S \rightarrow S_{(f)}$ enviando $s \in S_q$ a $s/f^q$ , $ \gamma_f $ es un $S$ - lineal.

Lema 2 $ \lambda_f $ es un isomorfismo para $f \in S_1$ .

Prueba: Supongamos que $ \lambda_f (x_i/f^{m_i} \otimes y_i/f^{n_i}) = 0$ donde $x_i \in M_{m_i}, y_i \in N_{n_i}$ . Luego $ \Sigma_i (x_i \otimes y_i)/f^{m_i+n_i} = 0$ en $(M \otimes_S N)_{(f)}$ . Por lo tanto, existe un número entero $r > 0$ de tal manera que $f^r( \Sigma_i x_i \otimes y_i) = 0$ en $M \otimes_S N$ . Por lo tanto $ \Sigma_i f^rx_i \otimes y_i = 0$ en $M \otimes_S N$ .

Desde $ \gamma_f ( \Sigma_i f^rx_i \otimes y_i) = 0$ , $ \Sigma_i f^rx_i/f^{r + m_i} \otimes y_i/f^{n_i} = 0$ en $M_{(f)} \otimes_ {S_{(f)}} N_{(f)}$ . Por lo tanto $ \lambda_f $ es inyectable. Claramente $ \lambda_f $ es surjectiva. QED

Propuesta Supongamos que el ideal $S_+$ es generado por $S_1$ . Deje que $g \in S_d$ $(d>0)$ . Luego $ \lambda_g $ es un isomorfismo.

Prueba: Proyecto $S$ ) es una unión de $D_+(f)$ , $f \in S_1$ . Por lo tanto $ \lambda : \tilde M \otimes_ { \mathcal {O}_X} \tilde N \rightarrow (M \otimes_S N)^-$ es un isomorfismo de Lemma 1 y Lemma 2. Por lo tanto $ \lambda_g $ es un isomorfismo. QED

2voto

Xetius Puntos 10445

Por la teoría de la localización no graduada, sabemos que el mapa obvio $ \phi :M_f \otimes_ {S_f}N_f \to (M \otimes_SN )_f$ es un isomorfismo.

Ahora el dominio y codominio de estos mapas son $ \mathbb Z$ -y el mapa es homogéneo: induce isomorfismos en cada pieza homogénea, en particular, en las de grado cero. Sólo tenemos que comprobar que estos componentes de grado cero del dominio y codominio de $ \phi $ son los módulos que queremos. ¿Puedes hacerlo?

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