Las luces de la variante: lo que la matriz a utilizar cuando toda la fila+columna obtiene volteada?

Question

He hecho mi investigación y encontró un par de preguntas similares aquí y en otros sitios, pero ninguno de ellos tiene lo que estoy buscando.

Lights out es un juego sencillo, que cuenta con interesantes de matemáticas basado en soluciones de (información aquí). El uso de las reglas típicas en un tablero de 5x5, haga clic en cualquier lugar en la red hace que el hecho clic irregular y sus 4 vecinos inmediatos para obtener volteado. Pero quiero implementar una solución en la que toda la fila y columna de obtener volteado. Por ejemplo, en este foro

0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

Haga clic en el punto a de coordenadas (4, 4) resultará en

0 0 0 1 0
0 0 0 1 0
0 0 0 1 0
1 1 1 1 1 
0 0 0 1 0

Dado un tablero de 5x5, sé cómo resolverlo usando eliminación Gaussiana cuando se utiliza el estándar de reglas. He leído este corto pdf que explica el álgebra lineal teoría muy bien y mostró cómo una solución puede ser obtenida mediante la resolución de Ax = b, donde b es la columna-vector de la actual junta directiva y a es la siguiente matriz de 25x25

C I 0 0 0    where    I = identity(5) and C = 1 1 0 0 0
I C I 0 0                                     1 1 1 0 0
0 I C I 0                                     0 1 1 1 0 
0 0 I C I                                     0 0 1 1 1
0 0 0 I C                                     0 0 0 1 1

Me di cuenta de cómo hacer la eliminación Gaussiana en el módulo 2 para resolver la ecuación de matriz y fue capaz de resolver 5x5 tablas. También me enteré de que tan solo cambiando la C matriz ligeramente, que fácilmente se puede utilizar el mismo código para resolver 3x3.

Estoy bastante seguro de que con el fin de resolver la variante que yo quiero (toda la fila+columna obtiene volteado), todo lo que necesitas hacer es averiguar la C matriz. Pero traté de sentarse con un lápiz y papel por un tiempo y hacer algo similar a lo que el PDF que he ligado estaba haciendo, pero no podía entenderlo.

¿Alguien sabe cómo derivar la matriz necesaria para esto?

Answer 1

Creo que en la matriz de su variante es esta $25\times 25$ bloque de la matriz

$$A=\left(\begin{array}{ccccc}J&I&I&I&I\\ I&J&I&I&I\\I&I&J&I&I\\I&I&I&J&I\\I&I&I&I&J \end{array}\right)$$ Donde $I$ $5\times 5$ matriz identidad y $J$ $5\times 5$ matriz de todas las $1$s.

Por ejemplo, el $(1,1)$ botón se produce un 'toggle vector' $$(1 1 1 1 1 \; 1 0 0 0 0 \;1 0 0 0 0 \; 1 0 0 0 0\; 1 0 0 0 0)^T$$ y el $(1,2)$ botón se produce una alternancia de vector $$ (1 1111 \; 01000 \;01000 \; 01000\; 01000)^T$$

Continuando, y poniendo a estos en conjunto, dan la anterior matriz de $I$s y $J$s.

Answer 2

Pruebe algunas filas, verás que tienen el mismo formato. Por ejemplo, $$x_{1,1}+x_{1,2}+x_{1,3}+x_{1,4}+x_{1,5}+x_{2,1}+x_{3,1}+x_{4,1}+x_{5,1}=b_{1,1}$$ Esto le da a $1$'s en la primera fila en la posición $1,2,3,4,5,6,11,16,21$. Las otras filas funciona de la misma manera.

La única diferencia en la matriz resultado es que el nuevo $C$ es $$\begin{array}&1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1\\\end{array}$$

Toda la $25\times 25$ matriz sigue como antes. El mismo $I$ obras.