Es posible tener $g\colon\Omega\to\Bbb C$, lo que define una desenfrenada funcional?

Question

Deje $\Omega$ ser un espacio infinito con un trivial de medida $\mu$. Definimos $L^p$ espacios como de costumbre, a continuación, para $1<p<\infty$ si $\frac1p+\frac1q=1$,$(L^p)^*=L^q$. Todo esto es casi un clásico teorema. Fix $1<p<\infty$ para la discusión.

Supongamos $g\colon\Omega\to\Bbb C$ es una función tal que para cada a $f\in L^p$, el pointwise multiplicación $gf\in L^1$. Es necesariamente el caso de que $g\in L^q$?

No es difícil mostrar que $f\mapsto\int_\Omega fg\ d\mu$ es lineal y funcional. Por lo $g\in L^q$ si y sólo si este funcional es continua. Es, incluso, no es difícil mostrar que si $g$ es medible y $\mu$ $\sigma$- finito, a continuación,$g\in L^q$.

Es posible tener $g\notin L^q$ tal que para cada $f\in L^p$, $gf\in L^1$?

¿Por qué es esto difícil? Es compatible con $\sf ZF+DC$ que cada funcional lineal sobre un espacio de Banach es continua. En tal caso, $g$ tiene que ser en $L^q$, ya que el funcional es, en efecto continuo. Esto significa que si hay un contraejemplo que tiene que ver con el axioma de elección.

Podemos incluso de punto, además, que el ejemplo tiene que ver con conjuntos sin la propiedad de Baire ya que si cada conjunto de reales (equiv. los números complejos) tiene la propiedad de Baire, a continuación, cada funcional lineal sobre un espacio de Banach es continua.

Answer 1

Deje $X=\{0\}$, con la única $\sigma$-álgebra. Definir $\mu$$\mu(X)=\infty$. Deje $g(0)=1$. A continuación, $gf\in L^1$ por cada $f\in L^p$, simplemente porque $f\in L^p$ implica $f=0$. Pero $g\notin L^q$.

De curso $g$ no obstante, definir claramente delimitado lineal funcional en $L^p$, aunque$g\notin L^q$$(L^p)^*=L^q$. Así que no es del todo cierto que "si esta funcional es continuo, a continuación,$g\in L^q$"; la verdad es que si esta funcional es continua, entonces existe $h\in L^q$ que define la misma funcionalidad.

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Así que las respuestas de la pregunta que usted me hizo, pero no los relacionados con la pregunta que usted pensaba que era equivalente pero no lo es:

P2 Si $gf\in L^1$ por cada $f\in L^p$, entonces es el funcional $f\mapsto\int gf$ continua en $L^p$?

Yo creo que la respuesta es sí, debe ser continuo, pero no acabo de tener una prueba. Los comentarios que hacen acerca de la teoría de conjuntos y que esto y que por supuesto se aplica a la segunda pregunta.

No es claro para mí ¿qué pasa si no asumimos que $g$ es medible, es la cosa. Si $g$ es medible, entonces a mí me parece que sí, lo que hace es definir un continuo lineal funcional:

Si $E$ $\sigma$- finito, entonces todo es bonito si nos restringimos todo a $E$, y, en particular,$\int_E|g|^q<\infty$. Desde una contables de la unión de $\sigma$-finito de conjuntos es $\sigma$-finito de ello se desprende que no existe $B<\infty$, de modo que $\int_E|g|^q\le B^q$ por cada $\sigma$-finito $E$. Ahora si $f\in L^p$ existe un $\sigma$-finito $E$ tal que $f$, desaparece de $E$, y, por tanto, $|\int fg|\le B||f||_p.$

Edit: De hecho, este funciona sin suponiendo que $g$ es medible. Porque si $E$ $\sigma$- finito es fácil ver que $g\chi_E$ es medible y, a continuación, el resto del argumento se pasa a través. (PhoemueX la respuesta que da la prueba de que yo quería...)

Así que la respuesta a Q2 es sí, y punto. Dos veces. Por supuesto, no hay respuesta a la pregunta original es posible sin una definición de "no trivial".

(Sí, el $\sigma$-finito caso es igual a $\Bbb R^n$.)

Answer 2

No sé mucho sobre el conjunto teórico de las sutilezas de las que están hablando, pero el uso de ZFC, el funcional es siempre continua. Para ver esto, considere el bien definida(!) lineal mapa $$ \Phi : L^p \L^1, g \mapsto fg. $$

Es fácil ver que este mapa tiene un circuito cerrado gráfico: Si $g_n \to g$$L^p$$f g_n \to h$$L^1$, a continuación, cambiar a las subsecuencias, se obtiene la convergencia en casi todas partes. Tenga en cuenta que esto no uso de la mensurabilidad de $f$, sólo que de $g_n,g, f g_n$$h$, todos de los cuales tienen por supuesto. Pero esto implica $h = fg =\Phi(g)$.e., de modo que la gráfica de $\Phi$ es cerrado.

Por lo tanto, $\Phi$ está delimitado por el cerrado gráfico teorema, que fácilmente los rendimientos de la demanda.

Nota aunque (como David Ullrich señalado) que no impliquen $f\in L^q$ en general.

Answer 3

No, $g$ no necesitan estar en $L^q$, incluso por lo que sospecho es que no trivial de la medida.

Deje $X$ ser distinto de la unión de una cantidad no numerable de copias disjuntas de $[0,1]$; llamarlos $I_j$. Decir $E$ es medible si (i) $E\cap I_j$ es Lebesgue medible para cada $j$ y (ii) el conjunto de $j$ tal que $E\cap I_j\ne\emptyset$ es contable o el conjunto de $j$ tal que $I_j\cap E\ne I_j$ es contable. Deje $\mu(E)$ ser la suma de las medidas de Lebesgue de $E\cap I_j$.

Elija $g=\chi_E$ donde $E\cap I_j$ es un singleton para cada $j$. A continuación,$fg\in L^1$, en el hecho de $fg$ es medible y $fg=0$ en casi todas partes, para todos los $f\in L^p$. Pero $g$ no es mensurable.

(No "duro", porque las razones que dio para este ser "duro" aplicar para la obtención de un discontinuo lineal funcional; el funcional definido por $g$ es continua.)

Si este es también hatefully trivial por favor defina "no trivial".