Calcular $\lim_{n\rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+\frac{x^{4}}{n}}dx$ si existe.

Question

Calcular $$\lim_{n\rightarrow \infty} \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+\frac{x^4}{n}} \, dx$$ si es que existe. Si este límite no existe, demuestre por qué no existe.

Mi intento: Considere $f_n(x):=\frac{1}{1+\frac{x^{4}}{n}}$ ya que $f_n$ es continua en $\mathbb{R}$ entonces $f_n$ es $f_n$ son medibles por Lebesgue en $\mathbb{R}$ Además, hay que tener en cuenta que $f_n\leq f_{n+1}$ para todos $n\in\mathbb{N}$ . Además, tenemos $$\lim_{n\rightarrow \infty }f_n(x)=1.$$ Por lo tanto, por el Teorema de convergencia monótona tenemos $$\lim_{n\rightarrow \infty} \int_{-\infty}^\infty\frac{1}{1+\frac{x^4}{n}} \, dx=\int_{-\infty}^\infty\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{1+\frac{x^4}{n}} \, dx= \int_{-\infty}^\infty 1\,dx=\infty.$$

Quiestion: Esta última conclusión me generó dudas. ¿Garantiza el teorema de convergencia monótona que la integral existe? He leído una y otra vez el teorema y no encuentro garantía de la existencia, sólo permite introducir el límite en la integral. Me gustaría saber si estoy en lo cierto. Además, saber si hay algún error en mi intento y conocer otra forma de hacerlo.

Answer 1

Se puede escribir, como $n \to \infty$ , $$ \begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+\frac{x^{4}}{n}}dx&=2\int_0^{\infty}\frac{1}{1+\frac{x^{4}}{n}}dx \\\\&=2n^{1/4}\underbrace{\int_0^{\infty}\frac{1}{1+u^4}du}_{>0}\qquad \left(u=\frac{x}{n^{1/4}}\right) \\\\& \to \infty. \end{align} $$

Answer 2

Tenga en cuenta que

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+\frac{x^4}{n}} \; dx >\int_{-\sqrt[4]{n}}^{\sqrt[4]{n}} \frac{1}{1+\frac{x^4}{n}} \; dx > \int_{-\sqrt[4]{n}}^{\sqrt[4]{n}} \frac{1}{2} \; dx = \sqrt[4]{n}.$$

Answer 3

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+\frac{x^4}{n}}\mathrm{d}x=\pi\frac{\sqrt[4]{n}}{\sqrt{2}} $$

$$ \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+\frac{x^4}{n}}\mathrm{d}x=\infty $$