Demostrar que para ningún n>1 es la suma $(1!)^2+\cdots+(n!)^2$ un cuadrado perfecto.

Question

Demostrar que para ningún $n>1$ es la suma $(1!)^2+\cdots+(n!)^2$ un cuadrado perfecto.

Sé que $(1!)^2+\cdots+(n!)^2=\sum_{j=1}^{n} (j!)^2$ . También sé que todos los cuadrados son congruentes a 0 o 1 mod 4. Pero estuve experimentando con un par de n y encontré que son iguales a 1 mod 4. ¿Es cierta la afirmación anterior?

Answer 1

Una pista: Módulo de trabajo $3$ . ${}{}{}{}$

Answer 2

Primero, demuestre que ningún cuadrado perfecto puede ser equivalente a $7 \pmod{10}$ .

A partir de aquí, observe que $n! \equiv 0 \pmod{10}$ para todos $n \geq 5$ .

Por lo tanto, obtenemos:

$$\sum\limits_{k=1}^n(k!)^2 \equiv 1! + (2!)^2 + (3!)^2 + (4!)^2 \equiv 617 \equiv 7 \pmod{10}$$

---

Editar : Según la respuesta de Andre, trabajando $\pmod{3}$ es mucho más fácil. (Yo elegí $10$ ya que es muy fácil mirar el último dígito). Sin embargo, la estrategia es la misma: encontrar todas las clases de residuos para los cuadrados perfectos $\pmod{3}$ entonces demuestre que $\sum\limits_{k=1}^n(k!)^2$ no pertenece a ninguno de ellos.