Aquí está la pregunta. Es algo largo, así que me disculpo. "Vamos a $G$ ser un grupo. Deje $Aut(G)$ ser el conjunto de todos los isomorphisms de $G$. Este es un grupo en la composición, conocido como el grupo de automorfismos de a $G$. Si $g \in G$, entonces sabemos que el mapa de $\theta_{g}:G \rightarrow G$ definido por $\theta_g(a)=g^{-1}ag$ es un isomorfismo."
Las preguntas que he contestado.
1) Mostrar que si $g,h \in G$$\theta_{gh} = \theta_{h} \circ \theta_{g}$.
Respuesta: Vamos a $ a \in G$ observa que el $\theta_{gh}(a)= (gh)^{-1}a(gh) = h^{-1}g^{-1}agh = h^{-1}\theta_g(a)h=\theta_h(\theta_g(a))=(\theta_h \circ \theta_g)(a)$. Esto es cierto $\forall a \in G \space \space \therefore\space \space \theta_{gh} = \theta_{h} \circ \theta_{g}$.
2) Definir un mapa de $\phi: G \rightarrow Aut(G)$$\phi(g)= \theta_{g^-1}$. Mostrar que $\phi$ es un homomorphism.
Respuesta: Tenemos que mostrar que $\theta_{gh^{-1}} = \theta_{g^{-1}} \circ \theta_{h^{-1}} $. Sin embargo sabemos que el $\theta_{gh} = \theta_h \circ \theta_g$ y por lo tanto podemos concluir que el $\theta_{gh^{-1}} = \theta_{h^{-1}g^{-1}} = \theta_{g^{-1}} \circ \theta_{h^{-1}} $.
3) Encontrar $Ker(\phi)$.
Respuesta: $\theta_g(a) = g^{-1}ag \space \therefore \space \theta_{g^{-1}}(a) = gag^{-1}$. Para encontrar$Ker(\phi)$$\theta_{g^{-1}}(a)=a$, por lo que tenemos $gag^{-1}=a$ y, a continuación,$gag^{-1}g = ag$, por lo que tenemos $ga=ag$ $Ker(\phi)= Z(G)$ donde $Z(G)$ es el centro de todos los elementos en el grupo que conmuta con todos los otros elementos en el grupo.
Y por último, la pregunta 4: La imagen de $\phi$ se llama $Inn(G)$, el grupo de interior de automorfismos. Mostrar que $G/Z(G) \cong Inn(G)$.
No puedo trabajar fuera de la respuesta a esta última pregunta. Pido disculpas por la longitud, yo sólo quería explicar con tanto detalle como sea posible. Alguien me puede ayudar.
