Encontrar Mentira Subalgebras y sus correspondientes subgrupos Mentira

Question

Estoy estudiando para un examen de calificación y sólo revisó el siguiente teorema:

Deje $G$ ser una Mentira de un grupo con la Mentira de álgebra $\mathfrak{g}$. Supongamos $\mathfrak{h}\leq \mathfrak{g}$ es una subalgebra. Entonces existe un único conectado Mentira subgrupo $H \leq G$ tal que $T_1H=\mathfrak{h}$.

Ahora estoy tratando de aplicar este teorema a hacer el siguiente ejercicio:

Deje que $H=\left\{\left( \begin{array}{ccc} 1 & x & z \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \Bigg\vert x,y,z \in \mathbb{R} \right\}$ and let $ Z =\left\{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & z \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \Bigg\vert z \in \mathbb{R} \right\}$ so that $Z$ is a Lie subgroup of the nilpotent Lie group $H$. ($Z$ is the center of $H$.) Find all connected $2$-dimensional Lie subgroups of $H$ that contain $Z$. Describe them as both submanifolds of $H$ y como grupos.

La primera cosa que hice fue buscar sus correspondientes álgebras de Lie: $$\mathfrak{h}=T_1H=\left\{\left( \begin{array}{ccc} 0 & x & z \\ 0 & 0 & y \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \Bigg\vert x,y,z \in \mathbb{R} \right\} ~\text{ y }~\mathfrak{z}=T_1Z=\left\{\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & z \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \Bigg\vert z \in \mathbb{R} \right\}$$

Lo siguiente que necesitamos es encontrar todas las $2$-dimensiones subalgebras de $\mathfrak{h}$ contiene $\mathfrak{z}$. Aquí es donde voy a perder la confianza en mi de la solución; creo que para cualquier $a,b \in \mathbb{R}$ los siguientes son todos los $2$-dim. subalgebras (con $\mathfrak{z}$):

1. $\operatorname{span}\left\{ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right), ~\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \right\}$

2. $\operatorname{span}\left\{ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right), ~\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \right\}$

3. $\operatorname{span}\left\{ \left( \begin{array}{ccc} 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right), ~\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \right\}$

Estos son todos los subalgebras debido a que el soporte de la base de los elementos es la matriz cero, así que por la bi-linealidad del soporte son cerrados bajo el horquillado.

En la prueba del teorema de la correspondiente Mentira subgrupo a un álgebra de la Mentira es el conectado de la hoja de la resultante de la foliación que contiene $1 \in G$. Esto parece difícil de encontrar así que en lugar creo que sólo puede "encontrar" la Mentira de los subgrupos que va a tener el correspondiente álgebras de Lie:

1. $\left\{ \left( \begin{array}{ccc} 1 & x & z \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \Big\vert x,z \in \mathbb{R} \right\}$
2. $\left\{ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & z \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \Big\vert y,z \in \mathbb{R} \right\}$
3. $\left\{ \left( \begin{array}{ccc} 1 & ta & z \\ 0 & 1 & tb \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \Big\vert t,z \in \mathbb{R} \right\}$

Cada uno de estos grupos son grupos con la multiplicación. Los dos primeros son diffeomorphic a $\mathbb{R}^2$, pero no estoy seguro de cómo ver lo que el tercer grupo Mentira es como un colector.

Cualquier corrección, comentario o sugerencias sería muy apreciada!

EDIT: Tras el comentario de Sunghyuk, $$\operatorname{exp} \left( \begin{array}{ccc} 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & a & \frac{ab}{2} \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$ and we could instead write the corresponding Lie subgroup instead as $\left\{ \left( \begin{array}{ccc} 1 & ta & z+\frac{t^2ab}{2} \\ 0 & 1 & tb \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \Big\vert t,z \in \mathbb{R} \right\}$, que es la misma Mentira subgrupo 3. pero tal vez nos da más la intuición sobre cómo la ven como un colector?

Answer 1

Deje $G$ denotar el número de grupo 3. Definir $\varphi:\mathbb{R}^2\to G$ por$$(t,z)\mapsto\left(\begin{array}{ccc}1&ta&z\\0&1&tb\\0&0&1\end{array}\right).$$ Assuming $(a,b)\neq(0,0)$, the map $\varphi$ es un diffeomorphism.

Edit: Si quieres un diffeomorphism que también es un grupo de isomorfismo, usted sólo tiene que utilizar el mapa exponencial, que ya se describió a sí mismo. El diffeomorphism se$$(t,z)\mapsto\left(\begin{array}{ccc}1&ta&z+\frac{t^2ab}{2}\\0&1&tb\\0&0&1\end{array}\right).$$Un sencillo cálculo se comprueba que esto es de hecho un grupo de isomorfismo.