$f(z)$ y $\overline{f(\overline{z})}$ simultáneamente foliaciones

Question

Probar que las funciones de $f(z)$ $\overline{f(\overline{z})}$ son simultáneamente holomorphic.

Entiendo que esto significa que $f(z)$ es holomorphic si y sólo si $\overline{f(\overline{z})}$ es holomorphic.

Deje $g(z)=\overline{f(\overline{z})}$. Tenga en cuenta que $\overline{g(\overline{z})}=f(z)$. Por lo que es suficiente para demostrar que si $f(z)$ es holomorphic, a continuación, $g(z)$ es holomorphic.

Escribir $f(z)=u(z)+iv(z)$. Desde $f(z)$ es holomorphic, las partes real e imaginaria de satisfacer las Cauchy-Riemann ecuaciones:

$$\frac{\partial{u(z)}}{\partial{x}} = \frac{\partial{v(z)}}{\partial{y}}, \frac{\partial{u(z)}}{\partial{y}} = -\frac{\partial{v(z)}}{\partial{x}}.$$

Tenemos $g(z) = u(\overline{z})+i(-v(\overline{z}))$. Para demostrar que $g(z)$ es holomorphic, se debe demostrar que las partes real e imaginaria de satisfacer las Cauchy-Riemann ecuaciones:

$$\frac{\partial{u(\overline{z})}}{\partial{x}} = \frac{\partial{(-v(\overline{z}))}}{\partial{y}}, \frac{\partial{u(\overline{z})}}{\partial{y}} = -\frac{\partial{(-v(\overline{z}))}}{\partial{x}}.$$

¿Cómo podemos obtener esta a partir de las relaciones anteriores?

Answer 1

Sé que no estoy respondiendo a tu pregunta final, pero de todos modos... si $g(z)=\overline{f(\overline z)}$, luego

$$\begin{align*} g^\prime(a)=&\,\lim_{z\to a}\frac{g(z)-g(a)}{z-a}\\[2mm] =&\,\lim_{z\to a}\frac{\overline{f(\overline z)}-\overline{f(\overline a)}}{z-a}\\[2mm] =&\,\lim_{z\to a}\frac{\overline{f(\overline z)-f(\overline a)}}{\overline{\ \overline{z-a}\ }}\\[2mm] =&\,\lim_{z\to a}\overline{\,\Biggl[\frac{f(\overline z)-f(\overline a)}{\overline z-\overline a}\Biggr]}\\[2mm] =&\,\overline{\lim_{z\to a}\,\frac{f(\overline z)-f(\overline a)}{\overline z-\overline a}}\\[2mm] =&\,\overline{\lim_{w\to a}\,\frac{f(w)-f(\overline a)}{w-\overline a}}\\[2mm] =&\overline{f^\prime(\overline a)}\,. \end{align*}$$

Por lo tanto, $g$ es holomorphic. Lo contrario es demostrado de manera similar (o puede utilizar el hecho de que la transformación de $f\mapsto g$ es idempotente, es decir, de volver a su función original de $f$ cuando se aplica dos veces).