Simultánea Jordanization?

Question

EN un comentario a Qiaochu la respuesta que aquí se menciona que dos matrices que conmutan puede ser al mismo tiempo Jordanized (lamento que esto suena menos atractivo, a continuación, "diagonalized" :P ), es decir, que puedan ser llevados a una forma normal de Jordan por la misma semejanza de transformación. Me preguntaba acerca de lo contrario - cuando dos lineal de operadores que actúan en un finito-dimensional espacio vectorial (sobre una algebraicamente cerrado de campo) simultáneamente Jordanized? A diferencia del caso de diagonalización simultánea, no creo que la conmutatividad es forzado sobre las transformaciones en este caso, y estoy interesado en otras condiciones naturales que garantizan que esto es posible.

EDIT: como Georges señaló, las declaraciones que dos matrices que conmutan simultáneamente Jordanizable es de hecho el mal. Sin embargo, todavía estoy interesado en interesantes condiciones en un par de operadores, lo cual asegura un simultánea Jordanization (por supuesto, hay algunos obvios condiciones suficientes, es decir, que las dos matrices son en realidad diagonalizable y tiempo de viaje, pero esto no es muy atractivo...)

Answer 1

El comentario que mencionas no parece ser correcto: en realidad, en cualquier campo existen desplazamientos de matrices que no puede ser simultáneamente Jordanized. Aquí es un ejemplo.

Deje $n\geq 3$ y deje $J_n$ $n$- ésimo bloque de Jordan, el $n\times n$ matriz cuyas entradas son todas las $0$ excepto justo por encima de la diagonal, donde el $n-1$ entradas iguales a 1.
Yo reclamo que a pesar de $J_n$ obviamente conmuta con su plaza de $J_n^2$, estas matrices no pueden ser simultáneamente Jordanized.
De hecho, cualquier matriz $P$ Jordanizing $J_n$ va a satisfacer $P^{-1}J_nP=J_n$ debido a la singularidad de Jordania formas. Pero esto obligará a $P^{-1}J_n^2P=J_n^2$, que no es de Jordan en la forma. Por lo tanto no hay matriz $P$ puede simultáneamente Jordanize tanto $J_n$$J_n^2$.

Answer 2

Estoy 2 años de retraso, pero me gustaría dejar un comentario, porque para matrices de orden 2 existe un criterio muy simple.

Thm: Si $A,B$ son complejas matrices de orden 2 y no diagonalizable, a continuación, $A$ $B$ puede ser al mismo tiempo Jordanized si y sólo si $A-B$ es un múltiplo de la identidad.

Prueba: Supongamos $A-B=aId$.

Desde $B$ no es diagonalizable, a continuación,$B=RJR^{-1}$, donde $J=\left(\begin{array}{cc} b & 1 \\ 0 & b\end{array}\right)$

Por lo tanto, $A= RJR^{-1}+aId=R(J+aId)R^{-1}=R\left(\begin{array}{cc} b+a & 1 \\ 0 & b+a\end{array}\right)R^{-1}$. Therefore $$ and $B$ puede ser al mismo tiempo Jordanized.

Por el contrario, supongamos que $A$ $B$ puede ser al mismo tiempo Jordanized.

Desde $A$ $B$ no diagonalizable, a continuación,$A=RJ_AR^{-1}$$B=RJ_BR^{-1}$, donde $J_A=\left(\begin{array}{cc} a & 1 \\ 0 & a\end{array}\right)$ and $J_B=\left(\begin{array}{cc} b & 1 \\ 0 & b\end{array}\right)$.

Por lo tanto, $A-B=RJ_AR^{-1}-RJ_BR^{-1}=R(J_A-J_B)R^{-1}=R\left(\begin{array}{cc} a-b & 0 \\ 0 & a-b\end{array}\right)R^{-1}=(a-b)Id$. $\ \square$

Ahora, podemos encontrar muchos ejemplos de matrices que conmutan y no puede ser simultáneamente Jordanized.

Ejemplo: Las matrices $\left(\begin{array}{cc} a & 1 \\ 0 & a\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} b & -1 \\ 0 & b\end{array}\right)$ no diagonalizable y su diferencia no es un múltiplo de la identidad, por lo tanto no pueden ser simultáneamente Jordanized. Observe que estas matrices conmutan.