La siguiente es la pregunta que me he estado tratando de resolver, pero no puede conseguir bastante de él:
$$\lim_{n\rightarrow \infty} \sin\left(\cfrac{n}{n^2+1^2}\right) + \sin\left(\cfrac{n}{n^2+2^2}\right) + \cdots + \sin\left({\cfrac{n}{n^2+n^2}}\right) $$
Estoy necesarios para hallar el valor del límite anterior. Lo único que podía pensar es tomar $n^2$ comunes del numerador y el denominador de cada término.
$$\lim_{n\rightarrow \infty} \sin\left(\cfrac{1/n}{1+1^2/n^2}\right) + \sin\left(\cfrac{1/n}{1+2^2/n^2}\right) + \cdots + \sin\left({\cfrac{1/n}{1+n^2/n^2}}\right) $$
Ahora desde $n \to \infty$, entonces no debería de cada término dentro de la función seno ser cero y por lo tanto el valor de límite de cero? A donde voy mal en este enfoque?
También, he encontrado un truco para este tipo de pregunta se especifica en mi libro como:
Para utilizar la siguiente desigualdad : $$\color{blue}{\theta - \cfrac{\theta^3}{3!} < \sin \theta < \theta }$$
Y, a continuación, reemplazar $\theta$$\cfrac{n}{n^2+k^2}$. Nunca he visto esta desigualdad antes, puede que nadie se refieren a la prueba de esta desigualdad? (o dar la prueba).
EDITAR:
Después de trabajar con las sugerencias publicadas en los comentarios y respuestas: (y el enlace de el duplicado del post)
Hago la siguiente ecuación:
$$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \cfrac{1}{n} \left(\cfrac{1}{1+(k/n)^2}\right)$$
¿Cómo puedo convertir esto en parte Integral de ahora?
