¿El PDE $\frac{1}{t}\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=0$ tiene un nombre?

Question

$$\frac{1}{t}\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=0$$

¿Esta PDE tiene un nombre específico? Es una ecuación de onda?

Podemos transformar en una ecuación de onda?

Answer 1

Este es un Tricomi-tipo de ecuación normalmente describir una cierta cantidad de la transición de flujo subsónico (elíptica región) para flujo supersónico (hiperbólica de la región)

La forma general es: $$ \partial_{tt} u - t^{2k} \Delta u = f(x,t) $$

Acerca de la transformación en la ecuación de onda de la ecuación, yo diría que no, basado en mi Google-fu, $t$ tener signos diferentes hace que sea imposible a nivel global para describir el comportamiento de una escala de $u$ o transformado $u$ usando simplemente una ecuación de onda.

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EDIT: Si $t>0$, $k=1/2$, $f=0$, la dimensión espacial es de 1 en arriba, ajuste el $\tau = t^{\alpha}$:

$$ \partial_{tt} u = \alpha^2 t^{2\alpha-2}\partial_{\tau\tau} u + \alpha (\alpha-1) t^{\alpha -2} \partial_{\tau} u $$ por lo tanto dejando $\alpha = 3/2$ le podría eliminar el tiempo de la segunda derivada, sino un término aparece(? No sé cómo lidiar con este aspecto) $$ \frac{9}{4}\partial_{\tau\tau} u - \partial_{xx} u - \frac{4}{3\tau}\partial_{\tau} u = 0 $$

Answer 2

De hecho, este pertenece a una Tricomi-escriba la ecuación de acuerdo a http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde402.pdf.

De hecho, este PDE no se puede transformar en una ecuación de onda y conseguir el buen kernel no forma general de la solución y sólo se obtiene el núcleo de la forma general de la solución mediante separación de variables:

Deje $u(x,t)=X(x)T(t)$ ,

A continuación, $\dfrac{X(x)T''(t)}{t}-X''(x)T(t)=0$

$\dfrac{X(x)T''(t)}{t}=X''(x)T(t)$

$\dfrac{X''(x)}{X(x)}=\dfrac{T''(t)}{tT(t)}=-(f(s))^6$

$\begin{cases}X''(x)+(f(s))^6X(x)=0\\T''(t)+(f(s))^6tT(t)=0\end{cases}$

$\begin{cases}X(x)=\begin{cases}c_1(s)\sin(x(f(s))^3)+c_2(s)\cos(x(f(s))^3)&\text{when}~f(s)\neq0\\c_1x+c_2&\text{when}~f(s)=0\end{cases}\\T(t)=\begin{cases}c_3(s)\text{Ai}(-t(f(s))^2)+c_4(s)\text{Bi}(-t(f(s))^2)&\text{when}~f(s)\neq0\\c_3t+c_4&\text{when}~f(s)=0\end{cases}\end{cases}$

$\therefore u(x,t)=C_1xt+C_2x+C_3t+C_4+\int_sC_5(s)\sin(x(f(s))^3)\text{Ai}(-t(f(s))^2)~ds+\int_sC_6(s)\sin(x(f(s))^3)\text{Bi}(-t(f(s))^2)~ds+\int_sC_7(s)\cos(x(f(s))^3)\text{Ai}(-t(f(s))^2)~ds+\int_sC_8(s)\cos(x(f(s))^3)\text{Bi}(-t(f(s))^2)~ds$

o $C_1xt+C_2x+C_3t+C_4+\sum\limits_sC_5(s)\sin(x(f(s))^3)\text{Ai}(-t(f(s))^2)+\sum\limits_sC_6(s)\sin(x(f(s))^3)\text{Bi}(-t(f(s))^2)+\sum\limits_sC_7(s)\cos(x(f(s))^3)\text{Ai}(-t(f(s))^2)+\sum\limits_sC_8(s)\cos(x(f(s))^3)\text{Bi}(-t(f(s))^2)$