Grupo con un automorphism de la orden 2 (Jacobson BA1)

Question

Estoy teniendo problemas con el Ejercicio 11, en la Sección 1.10 de Álgebra Básica 1 por Nathan Jacobson (pub. Freeman & Co. 1985). La declaración de probar es:

Deje $G$ ser un grupo finito y $\phi$ un automorphism de $G$. Vamos

$$ I = \{ g \in G : \phi g = g^{-1} \} $$

1. Si $|I| > {3\over4} |G|$ , $G$ es abelian.

2. Si $|I| = {3\over4} |G|$ , $G$ tiene un abelian subgrupo de índice 2.

Estoy tratando de atacar el punto 2 en primer lugar, pensando que habrá un camino de 2 a 1, pero ni siquiera estoy en un punto donde lo que importa.

Hechos I se puede ver:

• $\phi^2 = id_G$ , debido a que el conjunto de los elementos fijados por $\phi^2$ es un subgrupo que contiene $I$.

• Desde $|G|$ es incluso (en el punto 2!) así debe de ser el orden de $K$ donde

  $$ K = \{ k \in G : \phi k = k \} $$

  porque podemos partición $G$ clases $\pi_k = \{ k, \phi k \}$ de tamaño 2 o 1, e $K$ es la unión de todas las clases singleton.

• Por lo tanto, $K$ contiene un elemento $i$ a de orden 2, por lo $ \phi i = \phi i^{-1} = i^{-1} $ , es decir,

  $$ 1 \neq i \in K \cap I $$

Que ya alguna buena información, pero todavía tengo ni idea de donde buscar el abelian subgrupo :-(

Answer 1

Esto es esencialmente el mismo argumento como de Tim por parte 1), pero ligeramente menos abstractamente establecido.

$g,h\in I$ Tenemos $\phi(gh)=\phi(g)\phi(h)=g^{-1}h^{-1}$. Fijo $g$, hay menos de % de $|G|/4$ elementos $h$de que $gh$ no está en $I$ y así más de $|G|/2$ para lo que es. Pero entonces el $\phi(gh)=(gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}$, que $g^{-1}$ y $h^{-1}$ viaje. Desde $g^{-1}$ conmuta con más de la mitad de $G$, conmuta con todas $G$, y puesto que era arbitrario $g$, $G$ es abeliano.