Si $\alpha +\beta = \dfrac{\pi}{4}$ demostrar que $(1 + \tan\alpha)(1 + \tan\beta) = 2$

Question

Si $\alpha +\beta = \dfrac{\pi}{4}$ demostrar que $(1 + \tan\alpha)(1 + \tan\beta) = 2$

He tenido algunas ideas al respecto:

Si $\alpha +\beta = \dfrac{\pi}{4}$ puis $\tan(\alpha +\beta) = \tan(\dfrac{\pi}{4}) = 1$

También sabemos que $\tan(\alpha +\beta) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1- \tan\alpha\tan\beta}$

Entonces podemos escribir $1 = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1- \tan\alpha\tan\beta}$

He intentado reorganizar $1 = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1- \tan\alpha\tan\beta}$ pero no ha servido de nada.

También pensé que si dejamos que $\alpha = \beta$ entonces podría escribir $\tan(\alpha+ \alpha) = 1$ (¿significa esto también $\tan(2\alpha) = 1$ ?)

entonces: $\tan(\alpha + \alpha) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\alpha}{1- \tan\alpha\tan\alpha}$

que da: $1 = \dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$

De todos modos estas son mis ideas hasta el momento, cualquier sugerencia sería realmente apreciada.

Answer 1

Ya casi lo has conseguido:

$$\begin{align} 1 &= \frac{\tan \alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}\\ 1 - \tan\alpha\tan\beta &= \tan\alpha + \tan\beta\\ 2 &= 1 + \tan\alpha + \tan\beta + \tan\alpha\tan\beta\\ 2 &= (1+\tan\alpha)(1+\tan\beta) \end{align}$$

donde cada ecuación es equivalente a la anterior/siguiente, y las dos pueden transformarse la una en la otra mediante un simple paso.

• Primero multiplique con el denominador (es decir $\neq 0$ ),
• luego agrega $1 + \tan\alpha\tan\beta$ a ambas partes,
• entonces escriba $1 + x + y + xy$ como el producto $(1+x)(1+y)$ .

Answer 2

Has llegado hasta aquí: $$1 = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1- \tan\alpha\tan\beta} $$ Continuemos así: $$\large\begin{align} \Rightarrow & \tan\alpha + \tan\beta+\tan\alpha\tan\beta = 1\\ \Rightarrow &\tan\alpha(1+\tan\beta) + \tan\beta = 1\\ \Rightarrow &\tan\alpha(1+\tan\beta) + 1+ \tan\beta = 2\\ \Rightarrow &(1 + \tan\alpha)(1 + \tan\beta) = 2\\ \end{align} $$

Answer 3

Ya casi lo tienes, como señala @Daniel en su respuesta.

Esta es otra forma de hacerlo:

$\beta=\dfrac{\pi}{4}-\alpha\implies (1+\tan\beta)=$ $\left(1+\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)\right)=\left(1+\dfrac{1-\tan\alpha}{1+\tan\alpha}\right)=\left(\dfrac{2}{1+\tan\alpha}\right)$

Así, $$(1+\tan\beta)=\frac{2}{1+\tan\alpha}$$ $$\implies (1+\tan\alpha)(1+\tan\beta)=2$$

Answer 4

Desde donde OP dejó su paso: $$1 = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1- \tan\alpha\tan\beta}$$ $$\implies{1- \tan\alpha\tan\beta}=\tan\alpha + \tan\beta$$ $$\implies \tan\alpha + \tan\beta+\tan\alpha\tan\beta=1$$ añadir 1 a ambos lados $$\implies\tan\alpha + \tan\beta+\tan\alpha\tan\beta+1=2$$ $$\implies1+\tan\alpha + \tan\beta+\tan\alpha\tan\beta=2$$ factor de la ecuación anterior $$\implies1(1+\tan\alpha) + \tan\beta(1+\tan\alpha)=2$$ $$\implies(1+\tan\alpha)(1+\tan\beta)=2$$ Por lo tanto, se ha demostrado que