Estoy praticing tensor de la notación, y quiero demostrar de esta manera que dados los vectores $A,B,C,D$ $(A \times B) \times (C \times D) = \det(A,C,D)B - \det(B,C,D)A$ donde $\det$ significa el triple producto. Me estoy poniendo algo diferente aquí, alguien puede comprobar? Tomando coordenadas:
$ ((A \times B) \times (C \veces D))_i = \epsilon_{ijk} (A \times B)_j (C \veces D)_k = \epsilon_{ijk} \epsilon_{jlm} A_l B_m \epsilon_{kno} C_n D_o $
$= \epsilon_{ijk} \epsilon_{kno} \epsilon_{jlm} A_l B_m C_n D_o$
Aquí he utilizado esta pequeña y agradable de identidad:
$ = (\delta_{in} \delta_{jo} - \delta_{io} \delta_{jn}) \epsilon_{jlm} A_l B_m C_n D_o $
$= [\delta_{in} \delta_{jo} \epsilon_{jlm} A_l B_m C_n D_o] - [\delta_{io} \delta_{jn} \epsilon_{jlm} A_l B_m C_n D_o]$
Ahora yo pensaba lo siguiente: desde $i$ es un servicio gratuito de índice $\delta_{in}$ intercambios $n$ $i$ en la primera parte, y $\delta_{io}$ intercambios $o$ $i$ en la segunda parte. Entonces:
$= [\delta_{jo} \epsilon_{jlm} A_l B_m C_i D_o] - [\delta_{jn} \epsilon_{jlm} A_l B_m C_n D_i]$
Ahora, $\delta_{jo}$ $\delta_{jn}$ hacer el doble de la suma se colapsan en una sola, guardando sólo los términos en que $j = o$ en la primera parte y $j = n$ en el segundo. Voy a mantener el índice de $j$. Entonces:
$= \epsilon_{jlm} A_l B_m C_i D_j - \epsilon_{jlm} A_l B_m C_j D_i$
Ahora vemos la definición de los productos cruzados
$= (A \times B)_j D_j C_i - (A \times B)_j C_j D_i$
$= \det(A,B,D) C_i - \det(A,B,C) D_i$
Dónde está mi error?
