$|\det (A+B)|\ge |\det B|$ % todo $B$tal que iff de $AB=BA$$A^2=O$

Question

Que $A\in M_2(\mathbb{C})$. $Z(A)$ es el conjunto de todos los $B\in M_2(\mathbb{C})$ tal que $AB=BA$. Demostrar que $|\det(A+B)|\ge |\det B|$ % todo $B\in Z(A)$si y sólo si $A^2=O$.

Si $A^2=O$ y $A\neq O$, supongamos que $\lambda$ es un valor propio de $A+B$. Entonces $(A+B)x=\lambda x$ y $A(A+B)x=\lambda(Ax)$ o $ABx=\lambda (Ax)$, $B(Ax)=\lambda(Ax)$. Entonces $\lambda$ es también un valor propio de $B$. Así $\det (A+B)=\det B$.

El problema es que no sé cómo lidiar con el inverso, es decir si $|\det (A+B)|\ge |\det B|$ % todo $B\in Z(A)$, entonces el $A^2=O$.

Gracias de antemano.

Answer 1

Reclamo: Ambos valores propios $A$ son cero.

Prueba: Si $A$ tiene un valor propio cero $\lambda \neq 0,$ tomar $B=-\lambda I$resultante $0= |\det(A - \lambda I)| \geq |\det(-\lambda I)|=|\lambda|^2,$ así, $\lambda =0$también implicando $\text{tr}(A)=\det(A)=0$

Ahora, tenemos por Cayley-Hamilton (para $2$ por $2$ matrices), $A^2 - \text{tr}(A)A + \det(A)=0 \to A^2=0$