Intuición en segunda derivadas parciales de orden

Question

Inspirado por lisas subvariedades de $\mathbb{R}^n$, estoy buscando una forma geométrica bien pensar en derivadas parciales de segundo orden de una función localmente lisa $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$.

Para aclarar, no quiero pensar los primeros orden parcial derivados como independiente funciones $\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, de los cuales tomamos nuevamente derivados de primer orden, pero me gustaría ver la conexión a la función original.

Gracias.

Answer 1

Yo haya entendido mal la pregunta, pero voy a intentar dar una interpretación geométrica de lo que usted ha escrito:

Vamos a tomar algo de espacio topológico. Este espacio nos da una relación entre puntos y barrios (la cual vendrá en práctico basado en la definición de un suave del colector). Un colector de este espacio que se ve y actúa como espacio Euclidiano en $n-$dimensiones espacio Euclidiano ($\mathbb{R}^n$). Esto ocurre localmente en el colector (de ahí la relación con los barrios). Por definición, podemos hacer el cálculo a nivel local.

Tomar una función que toma vectores de nuestra $n-$dimensiones del espacio, y nos da un número. El colector posee la suavidad de la propiedad, por lo que sabemos que la primera y la segunda derivados de existir. Una de las maneras de pensar de los derivados que se considere la gráfica de la función como una sección en la superficie. Para la primera derivada, como llevamos a cabo la transformación lineal de$\mathbb{R}^n$$\mathbb{R}$, una traducción se lleva a cabo a través de la superficie. La gráfica de la transformación lineal que da la mejor aproximación a través de una "línea-como" la función de la gráfica de la función es la derivada. La segunda derivada puede ahora ser considerado como tomar el gráfico y vaciado/flexión para probar su concavidad/curvatura.

Es que lo que estaban buscando?