Atascado en la integración de $\int x/(1-x)dx$

Question

Mi intento:

Dejó así $u = 1-x$, $du = -dx$, $x = 1-u$,:\begin{align*} \int \frac{x}{1-x}\, dx &= - \int \frac{1-u}u\, du \\ &= - \left( \int \frac 1 u\, du - \int 1 \, du \right) \\ &= - \ln(|u|) + u \\ &= -\ln(|1-x|) + (1-x) \end{align*}

Pero la respuesta se supone que es $-x - \ln(|1-x|)$. ¿Por qué tengo un extra 1?

Answer 1

Integrales indefinidas siempre tienen un término extra constante. La respuesta general es $-x - \ln|1-x| + C$. Si agrega un término constante a su respuesta y que dijo que se supone que es, usted encontrará que son equivalentes.

Answer 2

$$ \displaylines {\int {\frac{x}{{1 - x}} dx} = \int {\frac{{x + 1-1}} {{1 - x}} dx} \cr = \int {\left ({- 1 + \frac{1}{{1 - x}}} \right)dx} \cr = - x - \ln \left| {1 - x} \right| + \cr c} $$