Enteros pueden expresarse como $a^3+b^3+c^3-3abc$

Question

$$S=\{a^3+b^3+c^3-3abc|a,b,c\in\Bbb Z\}$$

¿Podemos decidir $S$? es decir, queremos encontrar todos enteros de la forma $a^3+b^3+c^3-3abc$.

Obviamente,

1. Si $m,n\in S$, entonces el $mn\in S$, por lo que sólo necesitamos considerar primos;
2. Si $n\in S$, entonces el $-n\in S$.

Que $f(a,b,c)=a^3+b^3+c^3-3abc$. $f(0,0,0)=0$, $f(1,0,0)=1$, $f(1,1,0)=2$, obtenemos que $0,1,2\in S$

p.d.: encontrar una solución para $a,b,c \geq0$: $n=2^rp_1^{r_1}\dotsb p_s^{r_s}$, $p_1< p_2<...$ son números primos impares, entonces una suficiente y necesaria condición para $n$ pueden expresarse como $a^3+b^3+c^3-3abc$($a,b,c \geq0$) es $p_1>3$o $p_1=3$ $r_1\geq2$

Answer 1

Tenga en cuenta que $$(a\pm1)^3+a^3+a^3-3(a\pm1)a^2=3a^3\pm3a^2+3a\pm1-3a^3\mp3a^2=3a\pm1$$ y $$(a+1)^3+a^3+(a-1)^3-3(a+1)a(a-1)=3a^3+6a-3a^3+3a=9a$$ Supongamos $n=a^3+b^3+c^3-3abc$ donde $n\in\mathbb Z$.

Así podemos llegar a todos los $n$ tal que $3\nmid n$ o $9\mid n$.

Tenga en cuenta que$(3p+k)^3\equiv k^3\equiv k\ \ (\text{mod 9})$$k\in\{-1,0,1\}$. Podemos escribir $a=3p+k$, $b=3q+l$ y $c=3r+m$ donde $k,l,m\in\{-1,0,1\}$. A continuación, $$a^3+b^3+c^3-3abc\equiv k+l+m-3(3p+k)(3q+l)(3r+m)\equiv k+l+m-3klm\ \ (\text{mod }9)$$ Además $$k+l+m-3klm\equiv k+l+m\ \ (\text{mod 3})$$ Supongamos $3\mid n$. A continuación,$3\mid k+l+m$.

Si $k=0$, $l=0$ o $m=0$ los otros dos deben ser opuesto, por lo $k+l+m-3klm=0$$9\mid n$. Los demás sólo podemos tener $k,l,m=-1$ o $k,l,m=1$. Pero en ambos casos se obtiene $9\mid n$.

Podemos concluir que los únicos valores posibles son tales, $n\in\mathbb Z$ que $3\nmid n$ o $9\mid n$.

Answer 2

El uso de la factorización $(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)$, se puede establecer la igualdad a un determinado número de $n$ y, a continuación, utilizar el lineal de sustitución de $a = m - b - c$ donde $m$ divide $n$, y luego se obtiene una ecuación cuadrática de la ecuación de Diophantine en dos variables de $a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = n/m$. De acuerdo a http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2006-December/011182.html , una ecuación cuadrática es decidable ${\mathbb Z}$. Hay sólo un número finito de posibilidades para $m$ para un determinado $n$, así que sí, el conjunto $S$ de enteros que tienen un entero solución a la ecuación es decidable en el sentido algorítmico. Ver también http://mathoverflow.net/questions/51987/which-types-of-diophantine-equations-are-solvable, donde la siguiente cita se encuentra:

"En 1972 papel, C. L. Siegel [Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Matemáticas.-Phys. Kl. II 1972, 21-46; MR0311578 (47 #140)] construye un algoritmo para determinar si un arbitrario ecuación cuadrática había entero de soluciones".