Vamos a empezar por escribir algunas de las expansiones.
$$ \begin{align}
e^{x^2} &= 1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{6!} + \cdots \\
\ln(1 + x^2) &= x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} + \cdots \\
\cos(2x) &= 1 - \frac{4x^2}{2} + \frac{16x^4}{4!} - \frac{64x^6}{6!} + \cdots \\
2x\sin x &= 2x^2 - \frac{2x^4}{3!} + \frac{2x^6}{5!} + \ldots
\end{align}$$
Nos veremos en un momento, si necesitamos más o menos términos. Entonces el numerador parece
$$\begin{align}
e^{x^2} - \ln(1 + x^2) - 1 &\approx \left( 1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + \color{#BB0000}{\frac{x^6}{4!}}\right) - \left( 1 + x^2 - \frac{x^4}{2} + \color{#BB0000}{\frac{x^6}{3}}\right) \\
&\approx x^4 +\color{#BB0000}{\left( \frac{1}{4!} - \frac{1}{3}\right)x^6},
\end{align}$$
que es ligeramente diferente de lo que he dicho en los comentarios, porque yo sin saberlo, dejó caer un signo negativo. En negro es el menor número de coeficientes que se importa, pero me quedo con extras en rojo, para que así podamos entender mejor cómo muchos son necesarias.
Del mismo modo, el denominador se verá como
$$\begin{align}
\cos 2x + 2x\sin x - 1 &\approx \left(\frac{-4x^2}{2} + \frac{16x^4}{4!} - \color{#BB0000}{\frac{64x^6}{6!}}\right) + \left(2x^2 - \frac{2x^4}{3!} + \color{#BB0000}{\frac{2x^6}{5!}}\right) \\
&\approx \frac{1}{3}x^4 + \color{#BB0000}{\left(\frac{2}{5!} - \frac{64}{6!}\right)x^6}.
\end{align}$$
Poniendo todo esto junto, en su fracción se parece mucho a
$$ \lim_{x \to 0}\frac{x^4 +\color{#BB0000}{\left( \frac{1}{4!} - \frac{1}{3}\right)x^6}}{\frac{1}{3}x^4 + \color{#BB0000}{\left(\frac{2}{5!} - \frac{64}{6!}\right)x^6}}.$$
Podemos factor $x^4$ desde el numerador y el denominador, lo que nos deja con
$$ \lim_{x \to 0} \frac{1 + \color{#BB0000}{\left( \frac{1}{4!} - \frac{1}{3}\right)x^2}}{\frac{1}{3} + \color{#BB0000}{\left(\frac{2}{5!} - \frac{64}{6!}\right)x^2}} = 3.$$
En esta última forma, se puede ver que todo en la $\color{#BB0000}{\text{red}}$ no aporta nada, ya que todo se va a$0$$x \to 0$. Del mismo modo, si hemos incluido muchos más términos, todos ellos mayores poderes de $x$, y por lo tanto ir a $0$.
Así que podemos ver que teníamos que ir hasta el grado $4$ aproximaciones por todas partes para obtener la respuesta. Qué grado de $4$? Debido a que es cómo muchos contribuir a la respuesta final. Una regla general es que usted no puede ir mal por incluir demasiados términos, pero que puede ir mal si se incluyen muy pocos. $\diamondsuit$
