¿Por qué es impar esta función?

Question

Supongamos una función de valor complejo $f$ está completo, los mapas $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ y mapea el eje imaginario en el eje imaginario.

Veo que $f(x)=\overline{f(\bar{x})}$ en todo el eje real, y por tanto el teorema de identidad implica que $f(z)=\overline{f(\bar{z})}$ para todos $z\in\mathbb{C}$ . Entonces para $ai$ en el eje imaginario, resulta que $$ f(ai)=\overline{f(\overline{ai})}=\overline{f(-ai)}=-f(-ai). $$

¿Esta relación se extiende de algún modo a $z$ para que $f$ ¿está impar en todo el plano complejo?

Answer 1

Sí: las funciones analíticas tienen ceros aislados o bien son idénticamente cero (véase esta respuesta para un argumento que lo demuestre). Consideremos la función $F(z)=f(zi)+f(-zi)$ . Esta función tiene todos los reales $z=a$ como ceros, por lo que sus ceros no están aislados.