Integrar una función periódica de valor absoluto

Question

\begin{equation} \int_{0}^t \left|\cos(t)\right|dt = \sin\left(t-\pi\left\lfloor{\frac{t}{\pi}+\frac{1}{2}}\right\rfloor\right)+2\left\lfloor{\frac{t}{\pi}+\frac{1}{2}}\right\rfloor \end{equation}

Tengo la integral anterior de https://www.physicsforums.com/threads/closed-form-integral-of-abs-cos-x.761872/. Esto parece llevar a cabo y la forma en que me acerqué fue ver que el integrando se periódica y $\int_{\frac{\pi}{2}}^\frac{3\pi}{2} -\cos(t)dt=\int_{\frac{3\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}} \cos(t)dt=\ldots=2$.

Necesito evaluar similar integral. \begin{equation} \int_{0}^t \sin\left(\frac{1}{2}(s-t)\right)\left|\sin\left(\frac{1}{2}s\right)\right|ds \end{equation}

Aquí también el integrando es periódica pero soy incapaz de conseguir que la forma cerrada. Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Podemos usar la serie de Fourier de la onda cuadrada. Tenemos: $$\operatorname{sign}\left(\sin\frac{s}{2}\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\frac{(2k+1)s}{2},$ $ y desde: %#% $ de #% tenemos: $$\frac{1}{2k+1}\int_{0}^{t}\sin\frac{t-s}{2}\sin\frac{s}{2}\sin\frac{(2k+1)s}{2}\,ds=\\ = \frac{4\cos(t/2)}{(2k-1)(2k+1)^2(2k+3)}-\frac{\cos(kt)}{(2k-1)(2k+1)^2}+\frac{\cos((k+1)t)}{(2k+1)^2(2k+3)}$ $

La última suma da un $$\color{red}{\int_{0}^{t}\sin\frac{t-s}{2}\left|\sin\frac{s}{2}\right|\,dt} =\\= -\frac{\pi}{2}\cos\frac{t}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{+\infty}\left(\frac{\cos(kt)}{(2k-1)(2k+1)^2}-\frac{\cos((k+1)t)}{(2k+1)^2(2k+3)}\right)=\\=-\frac{\pi}{2}\cos\frac{t}{2}-\frac{4}{\pi}\left(-1-2\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\cos(kt)}{(2k-1)^2(2k+1)^2}\right)=\\=\color{red}{\frac{4}{\pi}-\frac{\pi}{2}\cos\frac{t}{2}+\frac{8}{\pi}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\cos(kt)}{(2k-1)^2(2k+1)^2}}.$-función periódica cuyo valor absoluto es siempre $2\pi$ también es interesante notar que la integral, en función de $\leq\frac{\pi^2-8}{2\pi}=0.297556782\ldots<0.3.$, es bastante bien gaussian en forma en el intervalo $t$:

Answer 2

Una rápida experimentación me dio que $$ \int_0^t\sin\left(\frac{s-t}{2}\right)\left|\sin\left(\frac{s}{2}\right)\right|\,\mathrm{d}s= \mathrm{signo}\left(-\sin \left(\frac{t}{2}\right)\right) \left(2 \pi \cos \left(\frac{t}{2}\right) \left\lceil \frac{\left\lfloor \frac{t}{2 \pi }\right\rfloor }{2}\right\rceil +\sin \left(\frac{t}{2}\right)-\frac{1}{2} t \cos \left(\frac{t}{2}\right)\right)$$

Esta no es la única forma cerrada, y probablemente no es lo suficientemente bueno para lo que usted está buscando, así que por favor, acepte mis disculpas.

Espero que esto ayude.