Para factorizar debemos encontrar sus ceros?

Question

Estoy autoaprendiendo precalc (Precalculus Demystified) y encontré el siguiente problema en la página 170 :

Factorizar completamente el polinomio. $P(x) = x^3 - 5x^2 + 5x + 3; c = 3$ es un cero.

Desde $c = 3$ es un cero, lo sé $x - 3$ es un factor (y el resto es cero). Así que sigo adelante y hago la división y termino con lo siguiente :

$(x - 3)(x^2 - 2x - 1)$

Sin embargo, esto necesita ser factorizado aún más, así que hago el cuadrado y termino con :

$(x - 3)((x - 1)^2 - 2)$

Ahora me rasco la cabeza porque no se parece a los factores agradables que estoy acostumbrado a ver, así que compruebo mi progreso en el libro y dicen lo siguiente :

"Con el fin de factorizar $x^2 - 2x - 1$ primero debemos encontrar sus ceros"

Ahora entiendo que para encontrar los interceptos de una gráfica debo encontrar sus ceros, pero ¿qué tiene que ver encontrar sus ceros con la factorización de esta ecuación? Estoy completamente perdido en este punto porque aunque puedo tomarlo al pie de la letra y proceder, necesito entender el por qué antes de sentirme cómodo avanzando o voy a cavar yo mismo en una piscina aún más profunda de confusión :(

¿Alguna idea? Gracias de antemano.

Actualización : Debido a las respuestas que estoy recibiendo, necesito aclarar mi pregunta para precisar mi confusión real.

Gracias por sus rápidas respuestas. Lo siento mucho pero soy un poco lenta para entender la implicación. Mi problema es que no entiendo cómo se relacionan la factorización y la búsqueda de ceros. Para mí, factorizar es encontrar cuáles son los divisores de la raíz de un número o ecuación. Por ejemplo, 3 es un factor de 9 porque 3 * 3 = 9. Cuando busco factores de 9, no pienso en encontrar ceros... Ni siquiera sé qué significa eso. Sólo busco qué multiplicado por qué me da 9. En una ecuación como x^2 + 2xy + y^2, entiendo cómo factorizar esto a (x + y)^2... esto entiendo el por qué de y cómo hacerlo. Pero en todas las veces que lo he hecho, ni una sola vez he pensado en "encontrar el cero" de nada ni lo he abordado pensando en ceros. Esto puede delatar un inmenso desconocimiento de algunos conocimientos básicos por mi parte, pero por eso hago esta pregunta... Me encantaría saber qué me estoy perdiendo y qué tienen que ver los ceros con todo esto. Para encontrar los interceptos x/y, sí, entiendo cómo se relaciona el cero... para la factorización no lo entiendo. :(

Answer 1

Permítanme explicar primero por qué encontrar las raíces nos ayuda a factorizar. Si $f(x)$ y $g(x)$ son polinomios con $g(x)$ no el polinomio cero, entonces división larga polinómica nos dice que existen polinomios $q(x)$ y $r(x)$ tal que $f(x)=g(x)q(x)+r(x),$ donde $r$ es el polinomio cero, o tiene grado menor que el de $g(x)$ .

En particular, consideremos el caso en que $g(x)=x-c$ para alguna constante $c$ . Entonces, independientemente de lo que el polinomio $f(x)$ es, el polinomio resto $r(x)$ será un polinomio constante, ya que o bien es el polinomio cero o bien es un polinomio no cero de grado menor que $1$ (por lo que el grado $0$ ). En otras palabras, para cualquier polinomio $f(x)$ y cualquier constante $c$ existe un polinomio $q(x)$ y una constante $r$ tal que $$f(x)=(x-c)q(x)+r.$$ En particular, $$\begin{align}r &= 0\cdot q(c)+r\\ &= (c-c)q(c)+r\\ &= f(c)\end{align}$$ por lo que para todos los polinomios $f(x)$ y todas las constantes $c$ hay un polinomio $q(x)$ tal que $$f(x)=(x-c)q(x)+f(c).$$ Pero esto significa que $x-c$ es un factor de $f(x)$ si y sólo si $f(c)=0$ . (¿Ves por qué se deduce de la ecuación anterior?) Por eso, encontrar ceros es efectivamente lo mismo que encontrar factores lineales, lo que nos ayuda a factorizar completamente un polinomio.

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Ahora, con respecto a su ejemplo concreto. Ya has reescrito tu polinomio como $$(x-3)\bigl((x-1)^2-2\bigr).$$ Ahora, observa que podemos reescribir $$(x-1)^2-2=(x-1)^2-(\sqrt2)^2,$$ así que por la fórmula de la diferencia de cuadrados $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ podemos escribir $$(x-1)^2-2 = (x-1+\sqrt2)(x-1-\sqrt2),$$ y así su polinomio en forma completamente factorizada es $$(x-3)(x-1+\sqrt2)(x-1-\sqrt2).$$

Answer 2

Lo tienes hasta $(x−3)((x−1)^2−2)$ A partir de este punto, hay que buscar la solución de $(x-1)^2=2$ .

Entonces se obtienen los ceros : $x_1=3, x_2=1+\sqrt2 $ y $x_3=1-\sqrt2$

Y puede escribir su función como $P(x)=(x-3)(x-(1+\sqrt2))(x-(1-\sqrt2))$

Answer 3

Tal vez un ejemplo más fácil ayude.

Completamente factor $f(x) = x^3 +2x^2 -11x -12$ , utilizando el hecho de que f(3) = 0.

Por lo que puede factorizar $(x - 3)$ o utilizar la división sintética para obtener el resto. En cualquier caso, tendrás $f(x) = (x - 3)(x^2 + 5x + 4)$ - lo que puede ser más factorizado en: $$(x-3)(x+1)(x+4)$$

Su ejemplo es un poco más complicado porque $x^2 -2x -1$ no puede ser factorizado sobre los racionales. Así que básicamente se encuentran las raíces $x_1,x_2$ utilizando la fórmula cuadrática, entonces escribe $$P(x) = (x-3)(x-x_1)(x-x_2)$$

Answer 4

Para encontrar el $o$ 's' se equipara la función a $0$ Así que $f(x)=0$ . Sin embargo, si podemos escribir primero $f(x)$ en varios factores, podemos hacer uso del hecho de que para que un producto sea igual a $0$ uno (o más) de sus factores tiene que ser $0$ .

Por ejemplo, tomemos $x^2 - 2x + 1$ que has escrito en el planteamiento del problema. Podemos factorizar esto como $(x-1)(x-1)$ . Ahora queremos encontrar el ' $0$ 's' así que $x^{2} - 2x + 1=0$ o de forma equivalente $(x-1)(x-1)=0$ . Ahora hacemos uso de la regla que acabo de mencionar, por lo que sabemos que la primera $(x-1)$ El factor debe ser $0$ y/o el otro $(x-1)$ debe ser igual a $0$ . Por lo tanto, $x-1=0 -> x=1$ . Ahora podemos observar que los números de los factores pertenecen a la categoría ' $0$ de la función.