Es $ \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{y}} = \frac{1}{\left( \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} \right)} $?

Question

En el cálculo, es $ \dfrac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{y}} = \dfrac{1}{\left( \dfrac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} \right)} $? Estoy tan confundida acerca de este asunto. Lo que sería una prueba de ello?

Edit: Por la Regla de la Cadena, $ \dfrac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} \cdot \dfrac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{y}} = \dfrac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{y}} = 1 $, así que esto me confunde.

Answer 1

La declaración precisa es la siguiente.

Deje $ I $ ser un intervalo abierto, y supongamos que $ f: I \to \mathbb{R} $ es uno-a-uno y continuo en $ I $. Si $ f $ es diferenciable en a$ a \in I $$ f'(a) \neq 0 $, $ f^{-1}: f[I] \to I $ es diferenciable en a $ b = f(a) $ y $$ (f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}. $$

Utilizando la notación de Leibniz, la fórmula anterior puede ser expresado como $$ \frac{dx}{dy} \Bigg|_{y = b} = \frac{1}{\left( \dfrac{dy}{dx} \Bigg|_{x = a} \right)}. $$

Answer 2

Si las variables reales $x$ $y$ son dependientes funcionalmente de cada uno de los otros, dicen que por las ecuaciones $y = f(x)$$x = g(y)$, donde las cosas son diferenciables, en efecto, tenemos una ecuación

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} $$

y la más sencilla es la prueba de como indicado por la regla de la cadena:

$$ \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dy} = \frac{dy}{dy} = 1$$

y luego resolver la ecuación

$$ \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dy} = 1$$

para $\frac{dy}{dx}$.

El argumento puede ser reformulado en términos de funciones en lugar de las variables dependientes: a partir de la identidad

$$ x = g(f(x)) $$

podemos diferenciar a obtener

$$ 1 = g'(f(x)) f'(x) $$

y así, el análogo de identidad

$$ f'(x) = \frac{1}{g'(f(x))} $$

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De manera más general, en el lenguaje de las formas diferenciales, la expresión $\frac{dy}{dx}$ se define como la expresión de la satisfacción de

$$ dy = \frac{dy}{dx} dx $$

si que es posible. Cuando ambos $\frac{dy}{dx}$ $\frac{dx}{dy}$ se definen, entonces tenemos dos ecuaciones

$$ dy = \frac{dy}{dx} dx \qquad \qquad dx = \frac{dx}{dy} dy $$

y puede sustituir a obtener

$$ dy = \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dy} dy $$

y así tenemos de nuevo

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} $$

dondequiera $dy$ es nonvanishing. Un ejemplo de una situación en la que ambos se definen es si las variables $x$ $y$ están funcionalmente relacionados por un diferenciable de la ecuación de $f(x,y) = 0$. Tomando el diferencial da

$$ f_1(x,y) dx + f_2(x,y) dy = 0$$

donde $f_1$ es la derivada de la dos-la función de variable $f$ con respecto a la primera variable. Cuando ambos $f_1$ $f_2$ son cero, podemos resolver la ecuación de ambas maneras para ver que tanto $\frac{dx}{dy}$ $\frac{dy}{dx}$ están definidos.