Suma conexa del plano proyectivo $\cong$ Botella Klein

Question

¿Cómo puedo ver que la suma conectada $\mathbb{P}^2 \# \mathbb{P}^2$ del plano proyectivo es homeomorfo a la botella de Klein?

No busco necesariamente un homeomorfismo explícito, sólo un argumento intuitivo de por qué es así. ¿Podemos verlo utilizando polígonos fundamentales?

Answer 1

He aquí una respuesta más acorde con el espíritu de la pregunta. Todas las cifras deben leerse de arriba a la izquierda, de arriba a la derecha, de abajo a la izquierda y de abajo a la derecha.

Fig 1: A una botella de Klein... se le dibuja un círculo amarillo; esto la divide en dos regiones, que volvemos a unir, momento en el que obviamente ambas son bandas de Mobius:

Para ver que $P^2$ menos un disco es una banda de Mobius, mira lo siguiente. En la parte superior izquierda está $P^2$ dibujado como un polígono fundamental con lados identificados. En la parte superior derecha, he eliminado un disco. El límite del disco que ahora falta se dibuja en la parte inferior izquierda como una línea discontinua, y las dos partes restantes del borde del polígono fundamental están codificadas por colores para que la coincidencia sea más fácil de ver. En la parte inferior derecha, he modificado un poco las cosas, y si consideras el verde-seguido-por-el-rojo como una sola arista, puedes ver que al pegar el lado izquierdo con el derecho, obtienes una banda M.

Answer 2

Para ver algunas imágenes realmente bonitas que deberían dejarte esto bastante claro, echa un vistazo a algunos de los artículos recientes de Carlo Sequin, como éste:

http://www.cs.berkeley.edu/~sequin/PAPERS/2012_Bridges_Klein.pdf

Permítanme intentar una táctica diferente:

Veremos las versiones INMERSAS de cada una de ellas (las botellas de Klein incrustadas en 3 espacios son algo escasas).

La esencia del argumento es la siguiente (y puede que no necesites las imágenes una vez que lo entiendas):

1. $P^2 - D^2 = M$ un plano proyectivo menos un disco es una banda de Mobius. Esto es fácil de ver tomando el polígono fundamental habitual y recortando un disco que "cuelgue" sobre la arista, de modo que divida cada una de las dos aristas de encolado en dos trozos separados.

2. $P^2 \# P^2$ es, por tanto, la unión de dos bandas de Mobius a lo largo de su frontera común.

3. $K$ la botella de Klein, es la unión de dos bandas de Mobius a lo largo de su frontera común.

Te mostraré la parte 3 en imágenes. Empezaremos con una imagen esquemática (es decir, soy un pésimo artista) de la imagen estándar de una botella K. Los óvalos rojos indican secciones transversales. También tenemos un trozo de goma muy elástica, que se muestra como un rectángulo en la parte inferior derecha. Es azul por un lado y roja por el otro: A continuación, cortamos la botella por la mitad, siguiendo el plano de simetría (es decir, el plano perpendicular a la dirección de nuestra vista). He dibujado, en azul oscuro, el límite resultante. Puedes comprobar por ti mismo que el límite es un círculo inmerso en el plano. Ahora voy a construir el resto de la mitad "lejana" de la botella K, por pasos. Empiezo pegando un rectángulo de goma como se muestra, y presiono la línea media roja "hacia atrás" alejándola de nosotros, de modo que lo que se representa como un rectángulo azul sea en realidad más bien la mitad de un tubo de papel toalla. ¿Está claro?

Ahora extiendo esto para pegar con más del límite:

Y aún más: Pero cuando llego al extremo izquierdo, para continuar tengo que doblar la hoja de goma hacia delante, de modo que se vea la parte trasera (en rojo):

Continúo extendiendo, y puedes ver que para terminar el trabajo, necesito pegar la hoja a sí misma de manera que coincida el lado azul con el rojo... y eso hace una banda de Mobius. Obviamente, la mitad delantera de la botella K es otra banda M, y se unen a lo largo de esta "rebanada-curva" azul central (que es un círculo). Por tanto, $K = M_1 \cup M_2 / (\partial M_1 \text{~} \partial M_2)$ . QED.

Answer 3

[Munkres]=Munkres J. R.: Elementos de topología algebraica , Reading, MA: Addison-Wesley, 1984.
La prueba es sólo un truco sencillo . Munkres, p.39, la figura 6.9 sólo da una parte de la prueba. La orientación de cada $2$ -simplex de la figura es el sentido contrario a las agujas del reloj; la figura de la izquierda representa la botella de Klein. La otra parte de la prueba consiste en establecer un homeomorfismo entre la figura de la derecha de Munkres, p.39, Figura 6.9 y la primera figura de Munkres, p.38, Figura 6.8 utilizando las dos últimas figuras de Munkres, p.38, Figura 6.8. Las dos últimas figuras de Munkres, p.38, Figura 6.8 representan $P^2\#P^2$ . Consideremos primero su rama izquierda. Es una rama $2$ -denotado por el camino $D\to D\to -C$ utilizando sus segmentos límite dirigidos en lugar del orden de sus vértices. El signo menos representa el sentido de las agujas del reloj. El punto inicial y el punto final de la trayectoria $D\to D$ son los mismos. $C$ es una curva cerrada. El mismo $2$ -también puede representarse mediante $D\to -C\to D$ . La correspondiente $2$ -simplex en la figura derecha de Munkres, p.39, Figura 6.9 es $C\to -B\to C$ . Aunque el punto inicial y el punto final del camino parezcan diferentes, podemos reetiquetar los vértices para que el camino sea cerrado y pueda representar un $2$ -simple.