Estoy trabajando a través del capítulo 3 de geometría de sicigias de Eisenbud. En el primer ejemplo hace la afirmación de el ideal de 8 puntos generales en $\mathbb{P}^2$ genera dos cúbicas y una cuártica.
P: ¿Cómo puedo ver que este es el caso?
Estoy familiarizado con el teorema de Bezout y el teorema de Cayley-Bacharach, pero nunca he hecho uno de estos tipos de argumentos por mi cuenta antes.
El lineal formas, cuadráticas, cúbicas y cuárticas en el avión son espacios vectoriales de dimensiones 3,6,10,15 respectivamente.
Si elegimos cada punto P en general, la imposición de la condición adicional de fuga en P disminuirá cada una de las dimensiones arriba por 1 (a menos que la dimensión ya es 0). Si esto ayuda, nos están diciendo que, si hemos escogido $P_1$ a través de $P_i$, se puede elegir el siguiente punto a, no se encuentran en el común de cero locus de el grado d de las formas que se desvanecen en nuestra primera $i$ puntos, a menos que el cero del polinomio es la única forma de grado d.
Por lo tanto, después de la elección de 8 puntos generales, las dimensiones son ahora 0,0,2,7.
Así que hay dos cúbicas que se desvanecen en los 8 puntos y uno adicional en el cuarto grado que no es generado por el 2 cúbicas. El cúbicas se intersecan en un subscheme de longitud de 9. Si añadimos el cuarto grado, se debe reducir la longitud, la longitud debe convertirse en 8, por lo que hemos encontrado un set de generación de energía.
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