¿Cómo fueron descubiertos los factores Blaschke?

Question

El mapa

$$\psi_\alpha(z) = \frac{\alpha - z}{1 - \overline{\alpha}z}$$

puede ser demostrado para ser un mapa conformal del disco en sí mismo que los intercambios de $\alpha$ y $0$. Entiendo cómo demostrarlo en algunos aspectos, aunque estoy un poco desconcertado en cómo uno imagino esta función $\psi_a$ en primer lugar. Si quería un automorphism del disco que intercambia $\alpha$ y $0$, ¿cómo habría pensado de la función anterior?

Answer 1

Empezar desde el hecho de que cada automorphism de la esfera de Riemann tiene la forma $f(z) = \frac{az + b}{cz + d}$ (vamos a añadir el requisito de que $f$ envía el disco a sí mismo más adelante). Para enviar $0$ $\alpha$necesitamos $\frac{b}{d} = \alpha$, por lo que bien podríamos establecer $b = \alpha, d = 1$. Para enviar $\alpha$ $0$necesitamos $\frac{a \alpha + \alpha}{c \alpha + 1} = 0$, lo $a = -1$$c \neq \frac{1}{\alpha}$. Hasta ahora sabemos que debemos tener $$f(z) = \frac{\alpha - z}{1 + cz}$$

para algunos $c$. Ahora queremos que este mapa para restringir a un automorphism de abrir el disco. Esto implica que $f$ debe preservar la unidad de círculo: si $|z| = 1$ pero $|f(z)| > 1$ entonces moviendo $z$ en el disco tenemos que $f$ no enviar el abierto de disco a sí misma, y si $|f(z)| < 1$, por un argumento similar, observamos que $f^{-1}$ no enviar el abierto de disco a sí mismo.

Esta es una fuerte condición: ahora sabemos que $|z| = 1$ implica $|f(z)| = 1$. Al $|z| = 1$ tenemos que $\bar{z} = \frac{1}{z}$, por lo que el establecimiento $|f(z)|^2 = 1$ (recordar que $|w|^2 = w \bar{w}$) llegamos a la conclusión de que $$\left( \alpha - z \right) \left( \bar{\alpha} - \frac{1}{z} \right) = |\alpha|^2 - \bar{\alpha} z - \frac{\alpha}{z} + 1 = \left( 1 + cz \right) \left( 1 + \frac{\bar{c}}{z} \right) = 1 + cz + \frac{\bar{c}}{z} + |c|^2$$

e igualando los coeficientes de $z$ da $c = - \bar{\alpha}$ como se desee.