Manera más fácil de determinar el locus singular variedad proyectiva y la resolución de singularidades

Question

Para una variedad afín, sé cómo calcular el conjunto de puntos singulares simplemente mirando los puntos donde la matriz Jacobiana para el conjunto de la definición de ecuaciones tiene demasiado pequeño de un rango.

Pero, ¿qué es el método correspondiente para una variedad que es una variedad proyectiva,y también de una variedad es un subconjunto de un producto de algunos proyectiva del espacio y afines espacio? La forma en la que puedo pensar es que la cubrían por los conjuntos que son afines, y de hacerlo para cada afín establecido en esta apertura de la tapa -, pero que parece tedioso para fines prácticos (pero muy bien para las definiciones teóricas y teórico de las propiedades).

También para la resolución de singularidades, lo que es un método simple que está garantizado para trabajar? La forma sugerida en la sección de definiciones en Hartshorne y otros libros, es volar a lo largo de la singular locus, a continuación, busque en la singular, el locus de la blow-up, y volar de nuevo, y así sucesivamente - es que garantiza a terminar? ¿Cuáles son algunos de los métodos más eficaces? He mirado en la referencia "Resolución de Singularidades", un libro de alguien - que es lo que también parece sugerir (a pesar de que su prueba es muy general, y no he leído todos).

Answer 1

El Jacobiano de la condición por la suavidad es válido también para proyectiva variedades como afín variedades: usted acaba de tomar un homogénea la definición de ideal y calcular el rango de la matriz Jacobiana en el punto p, véase, por ejemplo, p. 4 de

http://www.ma.utexas.edu/users/gfarkas/teaching/alggeom/march4.pdf

Para un general de variedad: sí, creo que la mayoría de los recursos de manera eficaz de hacerlo es cubierta por afín abre y aplicar el Jacobiano de la condición en cada uno de ellos por separado.

Sobre tu pregunta sobre la resolución de singularidades: esto es complicado en alta dimensión! Como yo lo entiendo, de hecho, puede usted resolver las singularidades sólo por una combinación de imágenes ampliadas y normalizaciones (al menos en el carácter 0), pero a partir de la dimensión 3 usted tiene que ser un poco inteligente acerca de dónde y en qué orden de llevar a cabo sus imágenes ampliadas. No es el caso de que si usted acaba de seguir recogiendo una subvariedad cerrada y volando por los aires (y, a continuación, la normalización) que necesariamente va a terminar con una variedad lisa.

Para más detalles presentados en una manera amigable para el usuario, recomiendo Herwig Hauser artículo

http://homepage.univie.ac.at/herwig.hauser/Publications/The%20Hironaka%20Theorem%20on%20resolution%20of%20singularities/The%20Hironaka%20Theorem%20on%20resolution%20of%20singularities.pdf

Answer 2

Respecto a su primera pregunta:

Para muchas de las preguntas, la forma más sencilla de ver las tuercas y los pernos de una variedad proyectiva $V \subseteq P^n$ es buscar en su cono $CV \subseteq A^{n+1}$. Después de todo, el graduado de anillo cuyo Proj es $V$ es la misma que la enseñanza anillo cuya Especificación es $CV$. Obviamente, casi siempre hay una singularidad en el origen; pero si se ignora a ese punto, los otros puntos singulares corresponden todos entre $V$$CV$. También se puede pensar en la clasificación como geométricamente representado por la multiplicación por $k^*$, si usted está trabajando a través de un algebraicamente cerrado campo de $k$. (Debido a la homogeneidad de los polinomios son entonces los vectores propios de la acción del grupo.) Usted puede pensar de $V$ como se obtiene a partir de a $CV$ por y, a continuación, dividiendo por la multiplicación escalar.

El atlas de los gráficos de análisis de una variedad proyectiva es ciertamente importante, pero en cierta medida se está pensado como una introducción a intrínseco de la geometría algebraica en lugar de como la mejor herramienta computacional.

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La segunda pregunta es revisado en Wikipedia. Como la Wikipedia explica, Hironaka del gran teorema fue que es posible resolver todas las singularidades de una variedad por iterada imágenes ampliadas a lo largo de subvariedades. Yo no sé mucho acerca de esta teoría, pero si capaces de tantos matemáticos fueron a tantos problemas para encontrar un método, entonces, ciertamente, no hay ningún método sencillo.

En el otro lado de las curvas, es un método de aturdimiento que he aprendido acerca de (o tal vez a aprender) recientemente. De nuevo de acuerdo a Wikipedia, tomando la integral de cierre del anillo de coordenadas de una afín a la curva, o el graduado de anillo de coordenadas de una curva proyectiva, resuelve todo. El reclamo es que siempre elimina las singularidades de codimension 1, que son el único tipo que una curva tiene.

Answer 3

Sobre las resoluciones: sí, que es esencialmente el algoritmo y termina, pero tienes que tener cuidado con lo que usted sopla para arriba (tienes que saltar subvariedades lisas, por ejemplo, ser seguro esto converge y c) y en qué orden.

Dos muy agradable los libros de texto de resolución con un montón de ejemplos y detalles son libro de Kollár y libro de Cutkosky. También hay una agradable (más reciente)? O. Villamayor.

Answer 4

Las otras respuestas ya son muy buenos. Un par de notas adicionales:

(1) Como otros lo han explicado, el Jacobiano ideal método funciona para proyectiva del espacio. También funciona para otras variedades tóricas. Cualquier lisa toric variedad puede ser escrito como $(\mathbb{C}^n \setminus \Sigma)/(\mathbb{C}^{\*})^k$ donde $\Sigma$ es una disposición de espacios lineales y $(\mathbb{C}^{\*})^k$ actúa en $\mathbb{C}^n$ por algunos representación lineal. Por ejemplo, $\mathbb{P}^n = (\mathbb{C}^{n+1} \setminus \{ 0 \} )/\mathbb{C}^*$. Así que usted puede utilizar Greg truco de unquotienting, mediante el ordinario Jacobi criterio, y haciendo caso omiso de las singularidades en $\Sigma$. Ver a David Cox notas de cómo escribir un tóricas variedad de esta manera.

(2) Para variedades de dimensión mayor que $1$, la resolución de singularidades es muy intensas. Se ha implementado en Macaulay 2, pero tiende a impuestos los recursos de memoria del sistema.