¿Es un conjunto abierto en un producto de espacios si sus segmentos están abiertos en sus factores?

Question

Deje $X$ $Y$ ser espacios topológicos y vamos a ser $U ⊂ X × Y$ tal que $$∀(x,y) ∈ X × Y \colon \quad \begin{aligned}•~~\mathrm{incl.}_{(–,y)}^{-1}(U) ~\text{is open in $X$,}\\•~~\mathrm{incl.}_{(x,–)}^{-1}(U)~\text{is open in $S$,}\end{aligned}$$ donde $\mathrm{incl.}_{(–,y)}$ denota la inclusión $X → X × Y, x ↦ (x,y)$ $y$ $\mathrm{incl.}_{(x,–)}$ igualmente.

Es$U$, a continuación, abra en $X × Y$?

Ad contexto: yo estaba tratando de mostrar que un bilineal mapa de $X × Y → Z$ de los espacios vectoriales topológicos es continua mostrando que las lineales correspondientes mapas, obtenido mediante la fijación de uno de los argumentos, son todas continuas. He intentado probar el mencionado falsas conjeturas, pero yo no tenía ideas para empezar.

Answer 1

Considerar el conjunto de $(\mathbb R\times\mathbb R)\setminus\{(x,x):x\ne0\}\subset\mathbb R\times\mathbb R$.