$ \sin^{2000}{x}+\cos^{2000}{x} =1$ explicación de ecuación

Question

Resolver la ecuación: $$ \sin^{2000}{x}+\cos^{2000}{x} =1.$ $

Lo que hice:

$\sin^2{x} =1 \land \cos^2{x}=0$ Cuando $x=\frac \pi2 + \pi k $

$\cos^2 {x} =1 \land \sin^2{x}=0$ Cuando $x= \pi k$

Creo que estas soluciones se aplican para esta ecuación así pero realmente no sé cómo explicarlo formalmente. Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia:

Siempre tienes $$\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ $

Ahora ¿cómo $\sin^2(x)+\cos^2(x)$ y $\sin^{2000}(x)+\cos^{2000}(x)$ se refieren si $(\sin(x),\cos(x))\neq (\pm1,0)$ y $(\sin(x),\cos(x))\neq (0,\pm1)$?

Modificar (para dar una solución completa después de la discusión):

Si $(\sin(x),\cos(x))\notin\{(\pm1,0),(0,\pm 1)\}$, entonces %#% $ de #% por lo que ninguna solución es de esta forma.

Si $$\sin^{2000}(x)+\cos^{2000}(x)<\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$, entonces la ecuación es claramente satisfecho y las soluciones que se enumeran en la pregunta.

Answer 2

Ya que estamos preocupados con el caso cuando $\theta \neq k\pi/2$, obtenemos

$$0 < \sin^2\theta < 1$$ and $$0 < \cos^2\theta < 1$$

Ahora observe $0 < \theta < \pi/2$

$$1 = (\sin^2\theta + \cos^2\theta)^2 = \sin^4\theta + \cos^4\theta + 2\sin^2\theta\cos^2\theta > \sin^4\theta + \cos^4\theta \quad (1)$$

Ahora observe que $0<x<1$, $$x^n + (1-x)^n < 1$$ for $n # \geq 2$ y es monótonamente estrictamente decreciente en n.

Para mostrar esto, verificarla para n = 2, a continuación, utilizar la inducción. El paso inductivo es: $$1 > x^n + (1-x)^n = (x^n + (1-x)^n)(x + 1-x) = x^{n+1} + (1-x)^{n+1} + x^n(1-x) +(1-x)^nx $ $ $$ > x^{n+1} + (1-x)^{n+1}$ $ ahora poner $x=\sin^2 \theta$ y listo. $\theta = k\pi/2$ dar las soluciones solamente.