Actualmente estoy tomando mi primer curso de análisis real, y recientemente me presentaron la siguiente definición de conjuntos compactos:
Un conjunto $S \subseteq \mathbb{R}$ es compacta si y sólo si toda cubierta abierta de $S$ contiene una subcubierta finita.
Poco después de aprender la definición anterior de conjuntos compactos, aprendí el Teorema de Heine-Borel, que afirma que un subconjunto $S$ de $\mathbb{R}$ es compacto si y sólo si $S$ es cerrado y acotado. Por lo tanto, el teorema de Heine-Borel nos presenta una forma equivalente de pensar en la compacidad. A mí me parece mucho más sencillo definir la compacidad en términos de conjuntos cerrados y acotados en lugar de cubiertas abiertas y subcubiertas finitas. Mi pregunta es: ¿por qué los conjuntos compactos se definen utilizando cubiertas abiertas y subcubiertas finitas? ¿Por qué los conjuntos compactos no se definieron originalmente como subconjuntos de $\mathbb{R}$ que están cerradas y acotadas? Hasta ahora, en mi estudio del análisis, introducir coberturas abiertas y subcoberturas finitas parece complicar innecesariamente las cosas.
He buscado respuestas en Internet, pero la mayoría de las fuentes que he encontrado tratan temas de topología que están más allá de lo que he estudiado en análisis. Cualquier respuesta que pueda ser presentada en el contexto de un curso de introducción al análisis real de tercer año será muy apreciada. Gracias.
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Los conceptos divergen en espacios más generales. La definición topológica de la compacidad utilizando conjuntos abiertos se convierte en la más importante porque las secuencias no bastan para describir la convergencia en un entorno arbitrario.