8 votos

Ejemplo de un topos pequeños

Actualmente estoy tratando de entender este artículo por T. Noll en el topos de tríadas en la teoría de la música (también, este) Sin embargo, yo no puedo pasar de la sección 2.2, donde Noll introduce el subobjeto clasificador, más probablemente, porque yo no sé mucho acerca de la teoría de topos.

He leído la definición de topoi, pero no puedo obtener la intuición detrás de él, así que mi pregunta es: ¿alguien puede dar un ejemplo de un pequeño, de hormigón, de topos que podía jugar con entender este concepto ?

Gracias por tu ayuda...

Edit: me di cuenta de que "los pequeños topos" tiene una definición precisa; en este caso, yo sólo significaba "pequeño" como "no es tan complicado"...

9voto

YequalsX Puntos 320

Una manera de pensar en un "topos" es como una especie de aficionado categoría de conjuntos.

Una manera de hacer conjuntos de aficionado es considerar las poleas de los conjuntos en algunos topológica del espacio; esto se menciona en la Zhen Lin respuesta. Uno puede pensar en una gavilla de conjuntos como un conjunto que varía y se retuerce sobre el espacio topológico, pero parece que esto podría ser un poco doloroso para pensar con el fondo.

De otra manera hace que a los conjuntos más elegante es para poner las acciones en ellos. Así:

Deje $G$ ser un grupo finito, y considerar la categoría de todos finito $G$-conjuntos, es decir, todos los conjuntos finitos equipado con una acción del grupo de $G$. (Morfismos son los mapas de entre los juegos que son compatibles con el $G$-acción en el origen y de destino.) Este es un ejemplo de un topos, que es bastante pequeña, en su no-sentido técnico.

El subobjeto clasificador es el conjunto de dos elementos $\Omega$, con trivial $G$-acción, y con uno de los dos puntos distinguidos. Si $X$ $G$e $Y$ $G$invariante en el subconjunto, entonces tenemos el morfismos $\chi_Y: X \to \Omega$ que se asigna todos los de $Y$ a los ilustres punto en $\Omega$, y todos los de $X\setminus Y$ a otro punto. Este morfismos "clasifica" el subconjunto $Y$. (Más precisamente, $Y$ es la preimagen de los distinguidos punto de $\Omega$ bajo $\chi_Y$.)

Si tomamos $G$ a ser el trivial grupo, entonces sólo tiene que recuperar el topos de conjuntos finitos.

Vamos en lugar de tomar $G$ a ser el grupo cíclico de orden dos, decir $G = \langle 1,\tau\rangle,$ $\tau$ de orden dos. A continuación, para dar un finito $G$es sólo para dar un conjunto finito $X$ equipada con una involución (es decir, la permutación de orden dos) $\tau$.

Ahora además de los dos elementos, establecer $\Omega$ con trivial $G$-acción, la cual, una vez que designar a uno de sus puntos como la distinguen el uno) es el subobjeto clasificador, usted podría pensar en los dos element set $\Omega'$ equipada con la no-trivial de la involución, que alterna los dos puntos.

Ya hemos visto que la $Hom_G(X,\Omega)$ (escribo $Hom_G$ para los mapas de la preservación de la $G$-acción) es igual a la colección de $G$-invariante subconjuntos de a $X$.

¿Qué acerca de la $Hom_G(X,\Omega')$? Usted podría tratar de calcular esto (por supuesto, esto dependerá de la particular $G$-establecer $X$). No es particularmente emocionante, pero también puede ayudarle a obtener una idea de la diferencia entre el subobjeto clasificador y algunos otros objetos, tales como $\Omega'$.

5voto

Hurkyl Puntos 57397

El más simple no-degenerada ejemplo es $\mathbf{FinSet}$: la categoría de conjuntos finitos. El subobjeto clasificador es la de dos elemento del conjunto.

La definición de subobjetos por el clasificador es básicamente un categorification del conjunto de la teoría de la idea de definir subconjuntos de relaciones ($f(x) = 1$ si $x$ es en el subconjunto, $0$ lo contrario).

Por supuesto, $\mathbf{FinSet}$ es particularmente bueno topos, así que tal vez esto es la falta de algunos de los sabores. Por ejemplo, el terminal de objeto (el primer elemento del conjunto) sólo tiene dos subobjetos: sí, y la inicial del objeto (el conjunto vacío).

4voto

Aleksandr Levchuk Puntos 1110

Si quieres un fácil ejemplo concreto de un topos, entonces usted no necesita mirar más allá de la categoría de todos los conjuntos de $\textbf{Set}$. Por desgracia, es un poco especial topos. Más general toposes ver como subcategorías de functor categorías $[\mathcal{C}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ donde $\mathcal{C}$ es una categoría pequeña. Estos son razonablemente concreto, mientras que tener más genérico de comportamiento: en general estos toposes no va a estar bien-señaló, no se boolean, etc.

La más famosa de todas, $\textbf{Sh}(X)$, la categoría de conjunto de valores de las poleas en un espacio topológico $X$, es un topos, y categorías como este son los ejemplos de que la teoría fue originalmente construido en. El subobjeto clasificador de $\textbf{Sh}(X)$ es el marco de todos los subconjuntos de a $X$: pensamos en la verdad de los valores de $\textbf{Sh}(X)$ como decirnos de donde proposiciones son verdaderas, y la lógica interna de la $\textbf{Sh}(X)$ es una especie de 'local' de la lógica.


El resto de esta respuesta es de unos pequeños toposes en el sentido técnico.

Deje $V$ ser un modelo de Zermelo–Fraenkel de la teoría de conjuntos, y deje $V_\alpha$ ser el conjunto de todos los conjuntos en $V$ de rango inferior a $\alpha$. A continuación,

  1. $V_\omega$, el conjunto de todos los hereditariamente finitos conjuntos, es un elemental de topos.

  2. $V_{\omega + \omega}$ es un bien-señaló primaria topos con números naturales objeto; si $V_{\omega + \omega}$ satisface el axioma de elección, entonces es un modelo de la Teoría Elemental de la Categoría de Conjuntos (ETCS).

  3. Más en general, para todos los no-cero ordinal límite $\kappa$, $V_\kappa$ es un bien-señaló primaria topos, y si $V_\kappa$ satisface el axioma de elección, $V_\kappa$ es un modelo de ETCS.

Ahora, todos esos son muy similares desde el punto de vista de la teoría de topos, y no muestran realmente el sabor de la asignatura. Por ejemplo, todos los ejemplos son boolean toposes, por lo que su lógica interna es clásica. Por otra parte, todos estos son dos valores toposes, en el sentido de que su subobjeto clasificador sólo tiene dos elementos.

Una forma de conseguir una no booleano topos es tomar un finito poset $\mathcal{P}$, considerado como una categoría, y mirar a la categoría de todos los functors $\mathcal{P}^\textrm{op} \to \textbf{FinSet}$. Esto es elemental, topos, por los argumentos usuales, y en general, no es un valor booleano topos: el subobjeto clasificador puede ser considerado como el conjunto de todos hacia abajo-cerrado los subconjuntos de a $\mathcal{P}$. Por otro lado, también es un pequeño topos! De manera más general, la categoría de todos los functors $\mathcal{C}^\textrm{op} \to \textbf{FinSet}$ es un pequeño lugar, por cualquier finito categoría $\mathcal{C}$.

3voto

Felix Dilke Puntos 11

Otro buen ejemplo de un topos: la categoría de todas las permutaciones de los conjuntos finitos. Las flechas en esta categoría se definen de la manera obvia: si:X->X y b:Y->Y son permutaciones, una flecha desde a hasta b es una flecha de conjuntos f:X -> Y tal que fa = bf. El topos de las operaciones heredadas de FinSet.

Esto abre la posibilidad de utilizar el Mitchell-Benabou lenguaje para hablar de permutaciones "como si fueran conjuntos". Si usted está interesado en hacer este tipo de cosas en el software, es posible que desee buscar en el Proyecto Bewl, que intenta expresar la M-B lenguaje interno de un topos como DSL (lenguaje específico de dominio), por lo que usted puede hacer topos de la teoría de los cálculos en la línea de comandos.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X