Deje $H$ ser un espacio de Hilbert con base ortonormales $(e_{n})_{n\in\mathbb{N}}$. Además, vamos a $T\colon H\rightarrow C[a,b]$ ser un operador acotado.
a) Deje $x\in [a,b]$. Muestran que no hay una única $g_{x}\in H$ $\langle f,g_x\rangle=(Tf)(x)$ y todos los $f \in H$.
Actualizada la versión 1. Hasta ahora tengo:
Deje $x\in[a,b]$, definir el lineal continuo mapa de $L_{x}:H\rightarrow \mathbb{K}$, $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ por $$ L_{x}(f):=T(f)(x).$$
Desde $H$ es un espacio de Hilbert y $L_{x}:H\rightarrow \mathbb{K}$ es un delimitada lineal funcional en $H$ podemos aplicar la Riesz-Frechet teorema. De acuerdo a la Riesz-Frechet teorema existe una única $g_{x}\in H$ tal que para $x\in[a,b]$ y todos los $f\in H$ $$L_{x}(f)=T(f)(x)=(Tf)(x)=\langle f,g_{x}\rangle.$$
Pregunta 1: he probado correctamente? O me estoy perdiendo algunos detalles importantes?
b) Mostrar que $$\sup_{x\in [a,b]} \sum_{j=1}^{\infty}|(Te_{j})(x)|^{2}<\infty.$$
Una sugerencia es que $||g_{x}||\leq ||T||_{H \rightarrow C[a,b]}$.
Actualizada la versión 1.
Pregunta 2: ¿cómo puedo probar esta sugerencia? Quiero probarlo antes de hacer uso de ella.
Para el resto de el problema que tengo hasta ahora:
Utilizando la parte a), tenemos que: $$\sup_{x\in [a,b]} \sum_{j=1}^{\infty}|(Te_{j})(x)|^{2}=\sup_{x\in [a,b]} \sum_{j=1}^{\infty}|\langle e_{j},g_{x}\rangle|^{2}.$$ Puesto que el $e_{j}$ formulario de una base ortonormales en $H$, de Bessel de la desigualdad de los rendimientos $$\sup_{x\in [a,b]}\sum_{j=1}^{\infty}|\langle e_{j},g_{x}\rangle|^{2}\leq \sup_{x\in [a,b]}||g_{x}||_{2}^{2}.$$
Ahora por la definición del operador de la norma, tenemos: $$\sup_{x\in [a,b]}\sum_{j=1}^{\infty}|\langle e_{j},g_{x}\rangle|^{2}\leq \sup_{x\in [a,b]}||g_{x}||_{2}^{2}\leq ||T||\cdot ||g_{x}||.$$
El uso de la sugerencia y el hecho de que el operador $T$ es limitada, se obtiene: $$\sup_{x\in [a,b]}\sum_{j=1}^{\infty}|\langle e_{j},g_{x}\rangle|^{2}\leq \sup_{x\in [a,b]}||g_{x}||_{2}^{2}\leq ||T||\cdot ||g_{x}||\leq ||T||\cdot ||T||_{{H \rightarrow C[a,b]}} <\infty.$$
Pregunta 3: Es la prueba completa ahora o me estoy perdiendo un detalle/cometiendo un error? En la clase, por ejemplo, por la desigualdad de Bessel en general hemos tenido este formulario $\sum_{j=1}^{\infty}|\langle f,e_{j}\rangle|^{2}\leq ||f||_{2}^{2}<\infty$.
c) Mostrar que el $\sum_{j=1}^{\infty} ||Te_{j}||_{L^{2}}^{2}< \infty$.
Actualizada la versión 1. Lo que tengo hasta ahora:
Definimos la función $$x\mapsto\sum_{j=1}^{\infty}|Te_{j}(x)|^{2}.$$ Tenemos desde la parte b): $$\sup_{x\in [a,b]} \sum_{j=1}^{\infty}|(Te_{j})(x)|^{2}<\infty.$$
La integración de la función en $(a,b)$ rendimientos
$$\int_{a}^{b}\sum_{j=1}^{\infty}|Te_{j}(x)|^{2}dx<\infty.$$
Ahora, haciendo uso de la Fubini-Tonelli teorema podemos intercambio de límite e integral y obtener:
$$\int_{a}^{b}\sum_{j=1}^{\infty}|Te_{j}(x)|^{2}dx=\sum_{j=1}^{\infty}\int_{a}^{b}|Te_{j}(x)|^{2}dx=\sum_{j=1}^{\infty}||Te_{j}||_{L^{2}}^{2}<\infty.$$
Pregunta 4: Es la prueba completa ahora o me estoy perdiendo un detalle/cometiendo un error? De hecho, el intercambio no está claro para mí. Hicimos el tratamiento de Fubini en clase, pero sólo shorty para cambiar las integrales no son una parte integral y suma. Por lo general, cuando el cambio de integral y la suma se utilizó la monotonía de convergencia.
d) Mostrar que $T\colon H\rightarrow L^{2}(a,b)$ es compacto.
Tenemos que conseguir que el resultado haciendo uso de estimaciones.
Actualizada la versión 1. He podido demostrar que sin la estimación y la había:
Tomamos nota de que $H$ $ L^{2}(a,b)$ son espacios de Hilbert y el operador $T\colon H\rightarrow L^{2}(a,b)$ es un delimitada operador lineal como se ha dado antes. Además en la parte c) se obtuvo una desigualdad. Así tenemos que el $T\colon H\rightarrow L^{2}(a,b)$ es un resumen de Hilbert-Schmidt operador. Ahora podemos aplicar un cierto teorema que establece que cada resumen de Hilbert-Schmidt operador compacto.
Ahora para la prueba haciendo uso de estimaciones:
Para mostrar que $T$ es compacto, se tiene que aproximar $T$ en el operador de la norma por el rango de los operadores. Para $N\in\mathbb{N}$ se define el operador lineal $T_{N}\colon H\rightarrow L^{2}(a,b)$.
Pregunta 5: no sé cómo demostrar que $T_{N}$ es de finito de rango? Normalmente, usted tendría algo a lo largo de las líneas que $T_{N}$ de su rango dentro de $span\{f_{1},\ldots,f_{N}\}$ y por lo tanto es finito-rank. Pero para que este problema no lo veo. Creo que se puede decir que el $ran(T)\subseteq C[a,b]$, pero $C[a,b]$ es infinito diminesional así que esto me confunde.
Pregunta 6: ¿Cómo puedo demostrar que $||T-T_{N}||\rightarrow 0$, por lo que puedo concluir que $T$ es un operador compacto.
