Estoy interesado en describir el grupo de matrices ortogonales especiales $SO(n)$ por un conjunto de parámetros, en cualquier dimensión. También me gustaría obtener una expresión de la densidad de la medida de Haar en este conjunto de parámetros.
¿Alguien podría ayudarme con esto o indicarme una buena referencia? Gracias
La única descripción explícita de la medida de Haar en $SO(n)$ que yo sepa es inductivo y se basa en coordenadas hiperesféricas en la unidad $(n-1)$ -esfera $S^{n-1}$ . La idea es realizar primero una rotación arbitraria de la primera $n-1$ coordenadas, y luego realizar una rotación que mapee $\textbf{e}_n$ a cualquier ubicación posible en $S^{n-1}$ .
Describiré esta parametrización utilizando fórmulas inductivas explícitas. Por comodidad, utilizaremos la siguiente notación. Si $\textbf{v}\in\mathbb{R}^n$ es un vector, sea $\textbf{v}^a\in\mathbb{R}^{n+1}$ sea el vector obtenido aumentando $\textbf{v}$ con un cero, es decir $$ (v_1,\ldots,v_n)^a \;=\; (v_1,\ldots,v_n,0). $$ Del mismo modo, si $M$ es un $n\times n$ matriz, dejemos que $M^a$ sea el $(n+1)\times(n+1)$ con la siguiente forma diagonal en bloque: $$ M^a \;=\; \begin{bmatrix}M & \textbf{0} \\ \textbf{0}^T & 1\end{bmatrix}. $$ También utilizaremos la notación $\textbf{e}_1,\ldots,\textbf{e}_n$ para los vectores de base estándar en $\mathbb{R}^n$ .
Son un sistema de coordenadas para especificar un punto $\boldsymbol{\Sigma}_n(\theta_1,\ldots,\theta_n)$ en la unidad $n$ -esfera $S^n$ en $\mathbb{R}^{n+1}$ dado $n$ ángulos $\theta_1,\ldots,\theta_n$ . Los primeros sistemas de coordenadas hiperesféricas vienen dados por \begin{align*} \boldsymbol{\Sigma}_1(\theta_1) &\;=\; (\sin\theta_1,\,\cos\theta_1), \\[3pt] \boldsymbol{\Sigma}_2(\theta_1,\theta_2) &\;=\; (\sin\theta_1\sin\theta_2,\,\cos\theta_1\sin\theta_2,\,\cos\theta_2), \\[3pt] \text{and }\boldsymbol{\Sigma}_3(\theta_1,\theta_2,\theta_3) &\;=\; (\sin\theta_1\sin\theta_2\sin\theta_3,\,\cos\theta_1\sin\theta_2\sin\theta_3,\,\cos\theta_2\sin\theta_3,\,\cos\theta_3). \end{align*} y en general el $i$ coordenada cartesiana $\Sigma_{n,i}$ de $\boldsymbol{\Sigma}_n$ viene dada por la fórmula $$ \Sigma_{n,i}(\theta_1,\ldots,\theta_n) \;=\; \begin{cases}\sin \theta_1 \cdots \sin \theta_n & \text{if } i=1, \\[3pt] \cos \theta_{i-1} \sin \theta_i \cdots \sin \theta_n & \text{if }2\leq i \leq n+1.\end{cases} $$ La función $\boldsymbol{\Sigma}_n$ también puede definirse inductivamente mediante la fórmula $$ \boldsymbol{\Sigma}_n(\theta_1,\ldots,\theta_n) \;=\; (\sin \theta_n)\,\bigl(\boldsymbol{\Sigma}_{n-1}(\theta_1,\ldots,\theta_{n-1})\bigr)^a \,+\, (\cos \theta_n)\,\textbf{e}_{n+1}. $$ con caso base $\boldsymbol{\Sigma}_1$ .
Si dejamos que $D_n$ sea el subconjunto del espacio de parámetros definido por $$ 0\leq\theta_1\leq 2\pi \qquad\text{and}\qquad 0\leq \theta_i\leq \pi\;\; \text{ for }2\leq i \leq n, $$ entonces $\boldsymbol{\Sigma}_n$ mapas $D_n$ en $S^n$ y es uno a uno en el interior de $D_n$ . En $n$ -con respecto a $\boldsymbol{\Sigma}_n$ es $$ dV \;=\; \bigl(\sin \theta_2\bigr)\bigl(\sin^2\theta_3\bigr) \cdots \bigl(\sin^{n-1} \theta_n\bigr)\,d\theta_1 \cdots d\theta_n, $$ que proviene del hecho de que las derivadas parciales de $\boldsymbol{\Sigma}_n$ son ortogonales con $$ \left\|\frac{\partial \boldsymbol{\Sigma}_n(\theta_1,\ldots,\theta_n)}{\partial \theta_i}\right\| \;=\; (\sin\theta_{i+1})\cdots(\sin \theta_n) $$ para todos $1\leq i\leq n$ .
Antes de escribir la parametrización de $SO(n)$ necesitamos ampliar $\{\boldsymbol{\Sigma}_n(\theta_1,\ldots,\theta_n)\}$ a una base ortonormal de $\mathbb{R}^{n+1}$ . La base es $$ \bigl\{\textbf{U}_{n,1}(\theta_1,\ldots,\theta_n),\ldots,\textbf{U}_{n,n}(\theta_1,\ldots,\theta_n),\boldsymbol{\Sigma}_n(\theta_1,\ldots,\theta_n)\bigr\} $$ donde $$ \textbf{U}_{n,i}(\theta_1,\ldots,\theta_n) \;=\; \frac{1}{(\sin \theta_{i+1}) \cdots (\sin \theta_n)}\frac{\partial \boldsymbol{\Sigma}(\theta_1,\ldots,\theta_n)}{\partial \theta_i}. $$ Eso es, $\textbf{U}_{n,i}$ es el vector unitario tangente a $S^n$ en el sentido de aumentar $\theta_i$ . Por ejemplo, en el caso de $n=2$ tenemos $\boldsymbol{\Sigma}_2(\theta_1,\theta_2) = (\sin \theta_1\sin\theta_2,\cos\theta_1 \sin\theta_2,\cos\theta_2)$ Así que $$ \textbf{U}_{2,1}(\theta_1,\theta_2) = (\cos \theta_1,-\sin\theta_1,0), \qquad \textbf{U}_{2,2}(\theta_1,\theta_2) = (\sin \theta_1\cos\theta_2,\cos\theta_1 \cos\theta_2,-\sin\theta_2). $$ Decir que estos vectores son ortonormales es lo mismo que decir que las coordenadas hiperesféricas son un sistema de coordenadas ortogonales.
Los vectores $\textbf{U}_{n,i}(\theta_1,\ldots,\theta_n)$ también puede definirse inductivamente mediante la fórmula $$ \textbf{U}_{n,n}(\theta_1,\ldots,\theta_n) \;=\; (\cos \theta_n)\,\bigl(\boldsymbol{\Sigma}_{n-1}(\theta_1,\ldots,\theta_{n-1})\bigr)^a \,-\, (\sin \theta_n)\,\textbf{e}_{n+1} $$ y $\textbf{U}_{n,i}(\theta_1,\ldots,\theta_n) = \bigl(\textbf{U}_{n-1,i}(\theta_1,\ldots,\theta_{n-1})\bigr)^a$ para $i<n$ .
Sea $M_{n+1}(\theta_1,\ldots,\theta_n)$ denotan el $(n+1)\times (n+1)$ cuyas columnas son los vectores de esta base ortonormal: $$ M_{n+1}(\theta_1,\ldots,\theta_n) \;=\; \begin{bmatrix}\textbf{U}_{n,1}(\theta_1,\ldots,\theta_n) & \cdots & \textbf{U}_{n,n}(\theta_1,\ldots,\theta_n) & \boldsymbol{\Sigma}_n(\theta_1,\ldots,\theta_n)\end{bmatrix}. $$ Así que $M_n(\theta_1,\ldots,\theta_{n-1})$ es un $n\times n$ matriz en $SO(n)$ que mapea $\textbf{e}_n$ a un punto arbitrario $\boldsymbol{\Sigma}_{n-1}(\theta_1,\ldots,\theta_{n-1})$ en la unidad $(n-1)$ -esfera.
Nuestra parametrización para $SO(n)$ será una función definida inductivamente $\Phi_n$ que tomará el $\binom{n}{2}$ ángulos $\{\phi_{ij}\}_{1\leq i \leq j\leq n-1}$ como entrada, y como salida un $n\times n$ matriz en $SO(n)$ . Se define inductivamente mediante la regla $$ \Phi_2(\phi_{11}) \;=\; \begin{bmatrix}\cos \phi_{11} & \sin \phi_{11} \\ -\sin \phi_{11} & \cos \phi_{11}\end{bmatrix}. $$ y $$ \Phi_n\bigl(\{\phi_{ij}\}_{1\leq i \leq j\leq n-1}\bigr) \;=\; M_n(\phi_{1,n-1},\ldots,\phi_{n-1,n-1})\, \bigl(\Phi_{n-1}(\{\phi_{ij}\}_{1\leq i \leq j\leq n-2})\bigr)^a $$ donde el producto es un producto matricial. Conceptualmente, el $\bigl(\Phi_{n-1}(\{\phi_{ij}\}_{1\leq i \leq j\leq n-2})\bigr)^a$ factor realiza una rotación arbitraria en el primer $n-1$ coordenadas y, a continuación $M_n(\phi_{1,n-1},\ldots,\phi_{n-1,n-1})$ realiza una rotación específica que asigna $\textbf{e}_n$ a un punto arbitrario de $S^{n-1}$ .
De nuevo, si dejamos que $E_n$ sea el subconjunto del espacio de parámetros definido por $0\leq \phi_{1j}\leq 2\pi$ para $1\leq j \leq n-1$ y $0\leq \phi_{ij}\leq \pi$ para $2\leq i\leq j \leq n-1$ entonces $\Phi_n$ mapas $E_n$ en $SO(n)$ y $\Phi_n$ es uno a uno en el interior de $E_n$ .
La forma de volumen en $SO(n)$ correspondiente a la medida de Haar es $$ dV \;=\; \left(\prod_{1\leq i \leq j \leq n-1} \sin^{i-1} \phi_{ij} \right) d\phi_{11} \cdots d\phi_{n-1,n-1}. $$ Tenga en cuenta que esta medida no está normalizada. En su lugar, el volumen total de $SO(n)$ es el producto $$ \prod_{i=1}^{n-1} \mathrm{Vol}(S^i), $$ donde $\mathrm{Vol}(S^i)$ denota el $i$ -volumen dimensional (es decir, superficie) de la unidad $i$ -esfera en $\mathbb{R}^{i+1}$ .
Para $n=3$ estamos parametrizando $SO(3)$ utilizando $3$ variables $\phi_{11},\phi_{12},\phi_{22}$ donde $\phi_{11},\phi_{12}\in[0,2\pi]$ y $\phi_{22}\in[0,\pi]$ . La parametrización $\Phi_3(\phi_{11},\phi_{12},\phi_{22})$ viene dado por el siguiente producto de matrices $$ \begin{bmatrix}\cos\phi_{12}&\sin\phi_{12}\cos\phi_{22}&\sin\phi_{12} \sin \phi_{22} \\ -\sin\phi_{12}&\cos\phi_{12}\cos\phi_{22}& \cos\phi_{12}\sin\phi_{22} \\ 0&-\sin\phi_{22}& \cos\phi_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos \phi_{11} & \sin \phi_{11} & 0 \\ -\sin \phi_{11} & \cos \phi_{11} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}. $$ La forma del volumen es $$ dV \;=\; \sin \phi_{22} \,d\phi_{11}\,d\phi_{12}\,d\phi_{22}, $$ y el volumen total de $SO(3)$ es $(2\pi)(4\pi) = 8\pi^2$ .
Para $n=4$ estamos parametrizando $SO(4)$ con seis parámetros $\phi_{11},\phi_{12},\phi_{22},\phi_{13},\phi_{23},\phi_{33}$ donde $\phi_{11},\phi_{12},\phi_{13}\in[0,2\pi]$ y $\phi_{22},\phi_{23},\phi_{33}\in[0,\pi]$ . La parametrización $\Phi_4(\phi_{11},\phi_{12},\phi_{22},\phi_{13},\phi_{23},\phi_{33})$ es el producto de la matriz $$ \begin{bmatrix} \cos\phi_{13} & \sin\phi_{13}\cos\phi_{23} & \sin\phi_{13}\sin\phi_{23}\cos\phi_{33} & \sin\phi_{13}\sin\phi_{23}\sin\phi_{33} \\ -\sin\phi_{13} & \cos\phi_{13}\cos\phi_{23} & \cos\phi_{13}\sin\phi_{23}\cos\phi_{33} & \cos\phi_{13}\sin\phi_{23}\sin\phi_{33} \\ 0 & -\sin\phi_{23} & \cos\phi_{23}\cos\phi_{33} & \cos\phi_{23}\sin\phi_{33} \\ 0 & 0 & -\sin\phi_{33} & \cos\phi_{33} \end{bmatrix} $$ con $\begin{bmatrix}\Phi_3(\phi_{11},\phi_{12},\phi_{22}) & \textbf{0} \\ \textbf{0}^T & 1\end{bmatrix}$ . La forma del volumen es $$ dV \;=\; \bigl(\sin \phi_{22}\bigr) \bigl(\sin \phi_{23}\bigr) \bigl(\sin^2 \phi_{33}\bigr)\,d\phi_{11}\,d\phi_{12}\,d\phi_{22}\,d\phi_{13}\,d\phi_{23}\,d\phi_{33}, $$ y el volumen total de $SO(4)$ es $(2\pi)(4\pi)(2\pi^2) = 16\pi^4$ .
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