¿Se puede incrustar un anillo booleano sin unidad en un anillo booleano?

Question

Mientras estaba leyendo un libro (Lectures on Boolean algebra, Halmos) me encontré con la siguiente pregunta :
Demostrar que cada anillo Booleano sin unidad puede ser incrustado en un anillo Booleano con unidad.

Si es posible, dame una prueba elemental del teorema.

Answer 1

Parte de la moderna álgebra abstracta consiste en convertir la imaginación en realidad por decreto. Esta es una técnica bastante general: digamos que tienes un objeto concreto $A$ y deseas un elemento con la propiedad $P$: entonces simplemente añade un elemento formal a $A$ y divide el resultado por la colección de todas las relaciones que deben cumplirse para que ese elemento tenga la propiedad $P$. Este enfoque se puede usar para varios elementos diferentes y en diversos contextos (anillos, grupos, campos, etc.).

Ahora digamos que $A$ es un anillo booleano (por lo que es conmutativo y tiene característica dos, recuerda). Queremos un nuevo elemento $\epsilon$ en él que actúe como la identidad. ¿Qué relaciones necesita cumplir la identidad; puedes convertir estas relaciones en un ideal para dividir $A[\epsilon]$ por él? Ahora simplemente necesitas verificar que el cociente $A[\epsilon]/I$ sea booleano y unital y contenga una copia de $A$ (es decir, $A\to A[\epsilon]/I$ es inyectiva).

Answer 2

La demostración más elemental es considerar $A'=\mathbf{2}\times A$, donde $\mathbf{2}=\{0,1\}$ es el anillo booleano de dos elementos. Las operaciones se definen por

$$\begin{gather} (\alpha,a)+(\beta,b)=(\alpha+\beta,a+b)\\ (\alpha,a)(\beta,b)=(\alpha\beta,\alpha b+a\beta+ab) \end{gather}$$ y $0a=0$, $1a=a$ por definición.

Probar que se satisfacen los axiomas de los anillos es fácil. El mapeo $A\to A'$ definido por $a\mapsto(0,a)$ es un homomorfismo de anillos. Además $$(\alpha,a)^2=(\alpha^2,\alpha a+a\alpha+a^2)=(\alpha,a)$$ así que es un anillo booleano. Tiene una unidad, porque $$(\alpha,a)(1,0)=(\alpha,a).$$

Esto es lo mismo que la extensión de Dorroh habitual para anillos genéricos (o $\mathbb{Z}$-álgebras), solo que usamos el hecho de que $A$ es un $\mathbf{2}$-álgebra.

Básicamente estamos agregando un complemento a cada elemento: de hecho $(1,0)+(0,a)=(1,a)$, por lo que $(1,a)$ es el complemento de $(0,a)$.

Answer 3

Ampliaré la respuesta aceptada de @anon, por lo que tal vez las personas deberían leerla (y probarla) primero.

Sea $A$ un anillo booleano sin unidad (es decir, un anillo sin unidad en el que cada elemento es idempotente). Como consecuencia de esta idempotencia, $A$ es conmutativo y así considera $A[x]$, el anillo de polinomios en una indeterminada sobre $A$. Es evidente que $A[x]$ tiene característica $2$, al igual que $A$.

Encontremos un ideal adecuado $I \subseteq A[x]$ tal que el cociente $A[x]/I$ sea un anillo booleano con unidad en el que el anillo original $A$ se pueda incrustar fácilmente. Además, consideremos solo cocientes en los que $x$ sea la unidad deseada. A partir de esto, para todo $p = p_n x^n + \cdots + p_0 \in A[x]$ debe ser que: $$p x \equiv p \pmod{I}$$ o equivalentemente, como $p=-p$: $$px + p \in I \text{, es decir:}$$ $$p_nx^{n+1} + (p_n + p_{n-1})x^n + \cdots + (p_1 + p_0)x + p_0 \in I$$

Por lo tanto, sea $I$ el conjunto de todos los elementos en esta forma junto con $0$. Esta definición de hecho produce un ideal, pero para ver esto claramente, encontremos una representación equivalente. Sea $p = c_n x^n + \cdots + c_0 \in I$ de grado $n > 0$. Por definición de $I$, existen $n$ elementos $p_0, \ldots, p_{n-1} \in A$ tales que:

$$\begin{cases} c_n = p_{n-1} \\ c_{n-1} = p_{n-1} + p_{n-2}\\ \cdots \\ c_1 = p_1 + p_0\\ c_0 = p_0 \end{cases} \iff \begin{cases} c_0 + c_1 + \cdots + c_{n-1} + c_n = 0 \\ c_0 + c_1 + \cdots + c_{n-1} = p_{n-1}\\ \cdots \\ c_0 + c_1 = p_1\\ c_0 = p_0 \end{cases}$$

Por lo tanto, $I$ puede ser expresado por: $$I = \Big\{ c_n x^n + \cdots + c_0 \in A[x] ~\|~ c_n + \cdots + c_0 = 0 \text{, with } n \geq 0\Big\}$$

La suma de elementos de $I$ resulta en polinomios cuyos coeficientes sumados también dan $0$. Sea $a = a_m x^n + \cdots + a_0$ cualquier polinomio en $A[x]$ y $p = p_n x^n + \cdots + p_0 \in I$ y considera su producto $q = a p$. No es difícil ver que la suma de los coeficientes de $q$ da: $$(a_m + \cdots + a_0)(p_n + \cdots + p_0) = 0$$ y por lo tanto $q \in I$. Queda por demostrar que todos los elementos en $A[x]/I$ son idempotentes.

Observa que, como $A$ tiene característica $2$ y todos sus elementos son idempotentes, para cualquier $a_n x^n + \cdots + a_0 \in A[x]$: $$(a_n x^n + \cdots + a_0)^2 = a_n^2 x^{2n} + \cdots + a_1^2x^2 + a_0^2 = a_n x^{2n} + \cdots + a_1x^2 + a_0$$

De esto se sigue que: $a^2 + a \in I$, es decir: $$a^2 \equiv a \pmod{I}$$

El elemento $x + I$ es una unidad de $A[x]/I$ por construcción, pero solo para asegurarnos, observa que $ax + a \in I$, ya que en la suma de todos los coeficientes de $ax + a$, los coeficientes de $a$ se suman exactamente dos veces.

Finalmente, si $a = b \pmod{I}$ para $a, b \in A$, entonces la suma de los coeficientes de $a + b$ es igual a $0$, lo que significa que $a = b$. Por lo tanto, el homomorfismo $i: A \to A[x]/I$ dado por $a \mapsto a + I$ es inyectivo.

---

edit:

TLDR

Esta respuesta asume que para cualquier anillo $R$ (con o sin unidad) se puede construir un anillo de polinomios $R[x]$ que contiene algún elemento $x \in R[x]$. Esta es una suposición válida y por lo tanto la respuesta es válida.

En $R[x]$ para el anillo no unital $R$

Mattia F. me señaló que $R$ no tenía una unidad desde el principio y por lo tanto algo como $x + I$ (con $I$ un ideal de $R[x]$) no tendría sentido. Acepté la crítica ya que para hacer referencia a $x$ requeriría algún elemento $1 \in R$, ya que los polinomios sobre $R$ tendrían que ser como:

$$r_0 + r_1 x + r_2 x^2 + \cdots + r_n x^n$$

Después, a partir del comentario de Martin Brandenburg, aprendí que el anillo de polinomios requerido de hecho tiene sentido. Para construir $R[x]$ un elemento formal $x$ se une a $R$ resultando, asumiendo coeficientes $r_i \in R$ y $z_j \in \mathbb{Z}$, en elementos de la forma:

$$r_0 + r_1 x + \cdots + r_n x^n + z_1 x + \cdots + z_m x^m$$

Para que esto tenga sentido, la multiplicación: $$(\cdot) : \mathbb{Z} \times R \to R$$ debe estar definida, como de costumbre, como:

$$n \cdot r = \begin{cases} 0, & \text{si $n = 0$} \\ \sum_{i=1}^{n} r, & \text{si $n > 0$} \\ (-n) \cdot (-r), & \text{si $n < 0$} \end{cases}$$