No de orden de integración múltiple ' t de acuerdo.

Question

Deje $0<x,y,t,z<1$ con la condición adicional:

$$\begin{align*} x &< t\\ \wedge & \ \\ y &<z \end{align*}$$

Llame al conjunto de todos los $x,y,t,z$ la satisfacción de las condiciones anteriores $S$. Quiero a evaluar $\int_S dxdydtdz$. Una forma de hacerlo es primero la integración de salida $z$ y, a continuación, la integración a lo largo de las columnas de abajo hacia arriba. El orden en que se da:

$$\int_0^1\int_0^t\int_x^1\int_y^1 dzdydxdt=\int_0^1\int_0^t\int_x^1(1-y) dydxdt=\frac{1}{8}.$$

Otra forma es simplemente integrar a lo largo de las columnas de la primera sin la integración de $z$:

$$\int_0^1\int_0^1\int_0^t\int_x^zdydxdzdt=\frac{1}{12}.$$

¿Por qué estos no están de acuerdo? Parece que la segunda forma es incorrecta. Creo que tal vez en la segunda manera en que uno debe integrarse $x$$0$$\min(x,z)$, pero a la vez pensé que el $y$ variable garantiza esto.

Answer 1

Es lo que ha dicho (excepto hay lo que parece ser un error en la pregunta donde se introdujo una variable $x_0$ que debe $t$), en la segunda integral [desde dentro], el límite superior de $x$ debe ser $\text{min}(z, t)$.