Existencia de un subconjunto infinito

Question

Mientras repasaba algunos problemas de álgebra lineal, encontré el enunciado "Existe un subconjunto infinito S de $\mathbb{R}^3$ tal que tres vectores cualesquiera en S son linealmente independientes". Lo que sé es que no más de 3 vectores del espacio vectorial dado pueden ser linealmente independientes y que existe una base infinita para este espacio vectorial, pero la existencia de un subconjunto infinito en el que tres vectores cualesquiera son linealmente independientes no me parece justificada. Por favor, ayúdenme en qué estoy fallando para llegar a la conclusión. Gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que $S_2:=\{v_1,v_2\}$ sea un conjunto de dos vectores linealmente independientes en $\mathbb{R}^3$ habiendo definido $S_n$ definimos $S_{n+1}$ de la siguiente manera:

Desde $$\bigcup_{1\leq i<j \leq n} \text{Span}\{v_i,v_j\}$$ es una unión finita de planos en $\mathbb{R}^3$ no puede ser todo $\mathbb{R}^3$ . Elige algún vector $v_{n+1}$ que no esté en esta unión y que se ponga

$$S_{n+1}:=S_n \cup \{v_{n+1}\}. $$

Por último, dejemos que $S:=\bigcup_{n=2}^\infty S_n$ .

Answer 2

Sugerencia, en $\Bbb{R}^2$ un ejemplo de subconjunto infinito, $S\subset \Bbb{R}^2$ tal que dos vectores cualesquiera en ella son linealmente independientes son:

$$S=\{ \left(\cos(\theta),\sin(\theta)\right)\colon \theta \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right)\}$$

¿Puedes llevar esto a $\Bbb{R}^3$ ?

Answer 3

Tres puntos cualesquiera de la curva $t\mapsto (1,t,t^2)$ son linealmente independientes. Esto se debe a que $$\left|\begin{array}{lll}1&t_1&t_1^2\\1&t_2&t_2^2\\1&t_3&t_3^2\end{array}\right|=(t_3-t_2)(t_3-t_1)(t_2-t_1)$$ por lo que los tres vectores son linealmente independientes siempre que $t_1,t_2,t_3$ son distintos por parejas.