Demostrar que existe una función diferenciable $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$satisfacción $[f(x)]^5+f(x)+x = 0$

Question

Demostrar que existe una función diferenciable $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ satisfactoria $$[f(x)]^5+f(x)+x = 0$$ for all $x # \in \mathbb{R}$. Find $f'(x)$.

Ver cómo se trata de una ecuación funcional, creo que podríamos usar inducción o alguna otra técnica para determinar información sobre $f$. ¿Tenemos que $$f(0)\left([f(0)]^4+1\right) = 0 \implies f(0) = 0$$ How might else we find a way to find $f %'$ o probar que existe?

Answer 1

Tal función $f$ es simplemente el inverso del $g(x) = -x^5 - x$, que es monótona y diferenciable con $g'(x) = -5x^4 - 1$ distinto de cero en todas partes. Por lo tanto es diferenciable por todas partes por el teorema de la función inversa $f$, y $f'$ está dada por la regla de la cadena.