$a_n \downarrow 0, \sum\limits_ {n=1}^{ \infty }a_n=+ \infty , b_n=min\{a_n,1/n\}$ probar $ \sum b_n $ divergen.

Question

$a_n \downarrow 0, \sum\limits_ {n=1}^{ \infty }a_n=+ \infty , b_n=min\{a_n,1/n\}$ probar $ \sum b_n $ divergen.

De hecho, he sabido que dos series positivas divergentes $ \sum a_n ~ \sum b_n$ , $c_n=min\{a_n,b_n\}, \sum c_n$ no siempre es divergente. Pero no sé por qué esta serie de arriba es seguramente divergente. Sinceramente, gracias.

Answer 1

Pista: Usar Prueba de condensación caucásica $ \displaystyle\sum_ {n=1}^{ \infty }a_{n}$ convergente, si y sólo si $ \sum_ {n=1}^{ \infty }2^na_{2^n}$ convergente

así que sólo mostramos que $$ \sum_ {n=1}^{ \infty }2^n \min\left (a_{2^n}, \dfrac {1}{2^n} \right )$$ divergente

si algún número entero positivo $n$ tal $a_{2^n} \ge\dfrac {1}{2^n}$ Entonces $$ \sum_ {n=1}^{ \infty }2^n \min\left (a_{2^n}, \dfrac {1}{2^n} \right )= \sum_ {n=1}^{ \infty }1$$ divergente

si algún número entero positivo $n$ tal $a_{2^n}< \dfrac {1}{2^n}$ Entonces $$ \sum_ {n=1}^{ \infty }2^n \min\left (a_{2^n}, \dfrac {1}{2^n} \right )= \sum_ {n=1}^{ \infty }2^na_{2^n}$$ es divergente, porque $ \sum_ {n=1}^{ \infty }a_{n}$ divergentes, entonces puedes usar la prueba de condensación Cauchy

Answer 2

Supongamos en cambio que $ \displaystyle\sum_ {n=1}^{ \infty }b_n$ converge. $\;\;$ Desde $ \displaystyle b_n \downarrow 0, \;\; \lim_ {n \to\infty }nb_n=0$ ;

así que $b_n=a_n$ para $n \ge N$ (para algunos $N \in\mathbb {N}$ ) y por lo tanto $ \displaystyle\sum_ {n=N}^{ \infty }b_n= \displaystyle\sum_ {n=N}^{ \infty }a_n$ divergen.

Esto da una contradicción, así que $ \displaystyle\sum_ {n=1}^{ \infty }b_n$ divergen.