¿Cómo mostrar $\exp(tX)\exp(tY)=\exp(t(X+Y)+tR(t))$ $\displaystyle \lim_{t\to 0} R(t)=0$?

Question

Que $X\in GL(n, \mathbb R)$. La exponencial de $X$ es la matriz de %#% $ #%

Necesito ayuda para mostrar el siguiente resultado: $$\exp(X)=\sum_{n=0}^\infty \frac{X^n}{n!}.$$ $\exp(tX)\exp(tY)=\exp(t(X+Y)+tR(t)),\quad t\in\mathbb R,$\displaystyle\lim_{t\to 0} R (t) = 0$.

Gracias

Comentario: Necesito este resultado para demostrar que si $with$ es un subgrupo cerrado de una mentira de grupo $H$ entonces $G\leq GL(n, \mathbb R)$ es sí mismo un grupo de lie.

Answer 1

Porque el mapa exponencial es inversible cerca de cero, se puede considerar la función matriz suave $\phi(t) = \exp^{-1}(\exp(tX)\exp(tY))$. Un cálculo demuestra que $\phi(0)=0$ $\phi'(0) =X+Y$ y por lo tanto, la expansión de Taylor de primer orden de $\phi$ es \phi(t) $$= t(X+Y) + tR(t),$$ where $R (t) \to 0$ as $t\to 0$. Para una prueba más completa, véase proposición 20.10 en mi Introducción a colectores de Lisa (2ª ed.).

Answer 2

O más simple $e^{tX}e^{tY}=(I+tX+O(t^2))(I+tY+O(t^2))=I+t(X+Y)+O(t^2)=e^{t(X+Y)}+O(t^2)$.