Positividad e intercambio de suma

Question

Supongamos que tengo $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\sum\limits_{m = 1}^{\infty} a_{m, n}$ donde $a_{m, n} \geq 0$ % todo $m$y $n$. ¿Puedo yo intercambio las dos sumatorias? Si es así ¿por qué?

Answer 1

Vale la pena saber que los reordenamientos puede cambiar el valor de las sumas o las integrales sólo si el positivo y negativo de las piezas de ambos divergen hasta el infinito.

El teorema de Fubini dice reordenamientos están bien si ambas partes son finitos.

Tonelli del teorema dice reordenamientos están bien si lo que se suman o integrado en todas partes es no negativo. (Lo que sigue es que también funciona si está en todas partes no-positivo, ya que el signo menos saca.)

Poner los dos juntos te da lo que he dicho en el primer párrafo.

Answer 2

Sí. Porque de cualquier manera es igual a $\displaystyle{\sup\limits_{M,N}\;\sum_{n=1}^N\sum_{m=1}^M a_{m,n}}$.