Sistema de 3 ecuaciones diferenciales

Question

Estoy tratando de resolver este sistema $$\begin{align} x'&=x-3y+3z\\ y'&=-2x-6y+13z\\ z'&=-x-4y+8z \end {Alinee el} $$ debe reducirse a una sola ecuación traté de expresar la x 3 y sustituir en los otros dos, pero luego no he reducido y o z no puedo entender cómo solucionarlo

Método de Euler no se pueden solucionar porque está escrito en el trabajo para reducir a una sola ecuación

Answer 1

Enfoque de matriz: nombre de las ecuaciones como (1), (2), (3). Para reducir en uno, que tiene que hacer $$a\cdot (1) +b\cdot (2) +c\cdot (3)$$ tal que el lado derecho es exactamente un múltiplo de la mano derecha. Que es $$(ax+by+cz)'=(a-2b-c)x+(-3a-6b-4c)y+(3a+13b+8c)z\\ =\lambda(ax+by+cz)$$

Esto hace que sea un autovalor problema. Es necesario resolver para autovalor $\lambda$, luego de encontrar los vectores propios. El autovector hará un buen conjunto de $a,b,c$.

Otro enfoque: (sin el uso de la matriz)

$$2\cdot (3)-(2): 2z'-y'=-2y+3z\etiqueta{4}\\ (1)+(3): x'+z'=-7y+11z\implica x'=-z'-7y+11z$$ Ahora equiparar esto con (1): $$-z'-7y+11z=x-3y+3z\implies x=-z'-4y+8z \tag{5}$$

Esta ecuación puede ser utilizada para eliminar la variable $x$. Tomando la derivada de (5) da $$x'=-z''-4y'+8z' \tag{6}$$ Enchufe (5) y (6) en (1): $$-z''+9z'-11z=4y'-7y\tag{7}$$ $$(7)-4\cdot (4): y=-z''+z'+z\tag{8}$$ Tomar derivado de la (8): $$y'=-z'''+z''+z'\tag{9}$$

Ahora tapón (8) y (9) en (7): $$2z'-3z=-z'''+z''+z'-2(-z''+z'+z)$$

Esta es la educación a distancia para $z$.

Answer 2

Me gustaría ver el problema de esta manera:

considere el vector $v = (x,y,z)^T$$ v' = (x',y',z')^T$. A continuación, puede reescribir el problema como tal:

$v'(t) = Av(t)$

donde a es la matriz que contiene los coeficientes de las funciones. En tu caso:

$A :=\left( \begin{matrix} 1 &-3 & 3 \\ -2 & -6 & 13 \\ -1 & -4 & 8 \end{de la matriz} \right)$

Ahora usted sabe que la solución debe tener la forma $ v(t) = e^{At} \cdot c$ donde $c \in \mathbb{R}^3$ es el vector con los valores constantes se podría determinar con la información dada acerca de las funciones. Suponiendo que usted sepa como la forma normal de Jordan funciona, puede reescribir esta matriz como $ A = SJS^{-1}$. Luego tenemos a $ v(t) = e^{SJS^{-1}t} \cdot c$ y utilizando la definición de la función exp llegamos $ v(t) = S\cdot e^{Jt}\cdot S^{-1}\cdot c$. Voy a dejar la multiplicación de la matriz a ustedes, pero yo siempre pensé que el $e^{Jt}$ fue un poco complicado:

En tu caso:

$e^{Jt} = \exp\left( \begin{matrix} t & t & 0 \\ 0 & t & t \\ 0 & 0 & t \end{de la matriz} \right)$

Se puede dividir esta matriz en dos separadas: $I_n := \left( \begin{matrix} t & 0 & 0 \\ 0 & t & 0 \\ 0 & 0 & t \end{de la matriz} \right)$ y $N :=\left( \begin{matrix} 0 & t & 0 \\ 0 & 0 & t \\ 0 & 0 & 0 \end{de la matriz} \right)$

A continuación, el uso de $\exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y)$ ahora se puede reescribir como:

$e^{Jt} = e^{I_n} \cdot e^{N}$

y por tomar un vistazo de cerca a ver que

$e^{I_n} = \left( \begin{matrix} e^t & 0 & 0 \\ 0 & e^t & 0 \\ 0 & 0 & e^t \end{de la matriz} \right)$

Casi hecho! Pero usted debe ver que $N^k = 0 \forall k \geq 3$

Eso significa que usted puede calcular el $e^N$ muy rápidamente y ver que (si me calculado correctamente que es :) )

$e^N = \left( \begin{matrix} 1 & t & 0.5\cdot t^2 \\ 0 & 1 & t \\ 0 & 0 & 1 \end{de la matriz} \right)$

Y por lo tanto

$e^{Jt} = e^{I_n} \cdot e^{N} = \left( \begin{matrix} e^t & t\cdot e^t & 0.5\cdot t^2 \cdot e^t \\ 0 & e^t & t \cdot e^t \\ 0 & 0 & e^t \end{de la matriz} \right)$

Y entonces usted puede finalmente ver lo que sus soluciones deben ser de una 'simple' de la multiplicación de la matriz

$v(t) = S \cdot \left( \begin{matrix} e^t & t\cdot e^t & 0.5\cdot t^2 \cdot e^t \\ 0 & e^t & t \cdot e^t \\ 0 & 0 & e^t \end{de la matriz} \right) \cdot S^{-1} \cdot c $

Espero que esto te puede ayudar!. Si usted está familiarizado con la forma normal de Jordan, creo que es una buena manera de resolver problemas como este!

Los mejores deseos,

Gustav