Deje $L$ ser totalmente real Galois de la extensión, que es cíclico y de la extraña primer grado $p>2$. Deje $\mathcal{O}_L$ ser el anillo de enteros de $L$, y deje $U=\mathcal{O}_L^\times$ ser el grupo de la unidad. La única raíces de la unidad en dicha extensión se $\pm 1$, con lo que por Dirichlet de la unidad de teorema, $$\mathcal{O}_L^\times \cong \langle -1 , u_1, u_2, u_3, \ldots, u_{p-1} \rangle$$ para algunas unidades $u_1,\ldots,u_{p-1}$ de orden infinito.
Preguntas:
- Es posible que todos los $u_1,\ldots, u_{p-1}$ a ser totalmente positiva unidades? (Una unidad de $u$ es totalmente positiva si todos sus incrustaciones $\tau(u)\in \mathbb{R}$ son positivos.)
Si es así, ¿con qué frecuencia se puede esperar que esto suceda?
Si puede ocurrir, ¿cómo se podía detectar este fenómeno sin tener que calcular todo el grupo de la unidad?
Si $u$ es totalmente positivo, $-u$ es totalmente negativa, así que la pregunta es para preguntar si hay cíclico extensiones $L/\mathbb{Q}$ con todas las unidades que son totalmente positiva o totalmente negativa.
