Hay dos problemas para lidiar con que debe ser desenredado para resolver problemas como estos.
Tanto el momento angular de los operadores son operadores vectoriales, por lo que, en cierto sentido, que "tomar los valores" en $\mathbb R^3$; que se les pide para que su producto escalar, lo cual debe ser tomado dentro de esa copia de $\mathbb R^3$. Usted tendría el mismo problema si se pide calcular el producto escalar de a $\mathbf r\cdot\mathbf p$ por una sola partícula sin girar.
El orbital y el momento angular de espín de los operadores que actúen sobre las dos diferentes factores de un producto tensor de Hilbet espacios. Por lo tanto, cualquier (operador) el producto de un escalar orbital operador con un escalar spin operador debe ser interpretada como un producto tensor. Usted tendría el mismo problema si se pide calcular el producto $L^2S^2$, lo que tendría que ser interpretado como $L^2\otimes S^2$.
Por lo tanto, en su caso, usted debe leer $L\cdot S$
$$
\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}=\sum_{i=1}^3L_iS_i=\sum_{i=1}^3L_i\otimes S_i.
$$
Para el cálculo de la representación de la matriz de esto, usted debe comenzar con la representación de la matriz de cada una de las $L_i$$S_i$. Usted, a continuación, calcular el tensor de producto de matrices $L_i\otimes S_i$. Por último, agregar todos aquellos matrices para obtener el resultado final.
Todo esto es mucho más claro con un ejemplo. El $z$ componente, por ejemplo, es fácil, ya que cada matriz está dada por
$$
L_z=\manejadores\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}
\quad\text{y}\quad
S_z=\frac\manejadores 2 \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},
$$
en las bases de $\{|1\rangle,|0\rangle,|-1\rangle\}$ $\{|\tfrac12\rangle,|-\tfrac12\rangle\}$ respectivamente. El tensor de la matriz del producto, a continuación, en base a $\{|1\rangle\otimes|\tfrac12\rangle ,|0\rangle\otimes|\tfrac12\rangle ,|-1\rangle\otimes|\tfrac12\rangle , |1\rangle\otimes|-\tfrac12\rangle ,|0\rangle\otimes|-\tfrac12\rangle ,|-1\rangle\otimes|-\tfrac12\rangle \}$, está dada por
$$
L_z\otimes S_z=\frac{\manejadores^2} 2 \begin{pmatrix}
1\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}
y
0\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}
\\
0\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}
y
-1\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
=\frac{\manejadores^2} 2
\begin{pmatrix}
1&0&0& 0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&-1&0&0&0\\
0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0& 0&0&0&1
\end{pmatrix}.
$$
Este procedimiento debe ser repetido con el $x$ e las $y$ componentes. Cada uno de esos producirá un seis por seis matriz (en este caso). Para obtener la respuesta final debe agregar todos tres matrices.
