$\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor} $ Para empezar voy a replantear la pregunta, por dos razones. En primer lugar, el mayor número entero menor o igual que $x$ se conoce como suelo de $x$ y actualmente se escribe $\floor{x}$ ; verá la notación $[x]$ sólo en la literatura matemática más antigua. Además de eso, siempre debe esforzarse por formular claramente cualquier matemática que estés comunicando. Parece que no ha dedicado suficiente tiempo a redactar su pregunta. ¿Puede dedicar sólo cinco minutos más? ¿Un par de minutos?
Tu pregunta es:
Sea $x_1$ , $x_2$ , $\ldots$ , $x_n$ ( $n\geq 2$ ) sean números reales tales que $$ \{\floor{x_1},\floor{x_2},\ldots,\floor{x_n}\} \:=\: \{1,2,\ldots,n\}~. \tag{1} $$ Hallar el máximo y el mínimo de $$ \sum_{i=1}^{n-1}\floor{x_{i+1}-x_i}~. $$
El plan de solución: primero determinaremos un límite superior y otro inferior para la suma en cuestión, denotándola por $S$ ; entonces, con estos dos límites en la mano, vamos a demostrar que son de hecho el máximo y el mínimo.
$\newcommand{\fracpart}[1]{\left\langle#1\right\rangle} $ Dado un número real $x$ , dejemos que $\fracpart{x}$ denotan el parte fraccionaria de $x$ , definido por $\fracpart{x} := x-\floor{x}$ . Siempre $0\leq{\fracpart{x}}<1$ . (La notación aceptada para la parte fraccionaria de $x$ es $\{x\}$ ; no la utilizaremos aquí para no confundirla con la notación para conjuntos). La suma $S$ puede reescribirse como $$ S \:=\: \sum_{i=1}^{n-1}\,(x_{i+1}-x_i) - \sum_{i=1}^{n-1}\fracpart{x_{i+1}-x_i} \:=\: x_n-x_1 - \sum_{i=1}^{n-1}\fracpart{x_{i+1}-x_i}. $$ Desde $1\leq x_1,\,x_n<n+1$ tenemos $-n<x_n-x_1<n$ , y puesto que $0\leq\sum_{i=1}^{n-1}\fracpart{x_{i+1}-x_i}<n-1$ , se deduce que $-2n+1<S<n$ . Pero $S$ es un número entero, por lo que $$ -2(n-1) \:\leq\: S \:\leq\: n-1~. \tag{2} $$ Elegir $x_i=i$ , $1\leq i\leq n$ obtenemos $S=n-1$ . Elegir $x_i=n+1-i+\theta_i$ , $1\leq i\leq n$ ,
para algunos números reales $\theta_i$ que satisfacen las desigualdades $1>\theta_1>\theta_2>\cdots>\theta_n\geq0$ (por ejemplo,
los números $\theta_i=1-i/n$ , $1\leq i\leq n$ ), tenemos $\floor{x_{i+1}-x_i}=-2$ para $1\leq i\leq n-1$ , por lo que en este caso obtenemos $S=-2(n-1)$ .
La respuesta es: el valor máximo de $S$ es $n-1$ , mientras que el valor mínimo de $S$ es $-2(n-1)$ .
Observaciones. $~$ La sugerencia de Macavity de que hay que buscar el mínimo y el máximo sólo sobre números enteros $x_i$ está mal: el máximo $n-1$ se puede conseguir eligiendo $x_i=i$ , $1\leq i\leq n$ ,
pero el mínimo $-2(n-1)$ es inalcanzable. De hecho, si cada $x_i$ es un número entero, entonces $\floor{x_{i+1}-x_i}=x_{i+1}-x_i$ para $1\leq i\leq n-1$ , así $S=x_n-x_1\geq -(n-1)>-2(n-1)$ .
$\qquad$ Si ha leído atentamente la solución, seguramente se habrá dado cuenta de que la única propiedad de los números $x_1$ , $x_2$ , $\ldots$ , $x_n$ hemos utilizado para derivar los límites $(2)$ para $S$ fue $$|x_n-x_1|<n \tag{3}~.$$ Así, el máximo y el mínimo de $S$ siguen siendo los mismos si el $x_i$ 's están limitadas por la condición más débil $(3)$ en lugar de la condición $(1)$ .
