¿Es la propiedad de razón de probabilidad monótona (MLRP) preservada con márgenes de conservación media?

Question

He gastado mucho tiempo tratando de encontrar una respuesta a esta pregunta, por lo que cualquier ayuda sería muy apreciada.

Deje $X_1$ ser una variable aleatoria (r.v.) con la distribución de $f_1$ $X_2$ ser una r.v. con la distribución de $f_2$. Supongamos $f_1$ $f_2$ satisfacer la monotonía de razón de verosimilitud de la propiedad (MLRP) tales que

\begin{equation} \frac{f_1(x_1)}{f_2(x_1)}\geq \frac{f_1(x_0)}{f_2(x_0)} ; \ \forall x_1\geq x_0 \end{equation}

Deje $Y_i = X_i + e_i $ el medio de preservación de la propagación de la $X_i$, con $e_i$ ~ $N(0,1)$, y con la distribución de $g_i(y)$$i=1,2$. ¿La MLRP presionado para$g_1(y)$$g_2(y)$?

Answer 1

Aquí están algunas ideas (no una clara respuesta, pero es demasiado largo para un comentario).

Para el caso general, cuando se $X$ $e$ son independientes, con densidades que son designados por $f_X(x)$$f_E(e)$, $Y = X + e$ tenemos que la densidad de $Y$ puede ser calculado utilizando la convolución $$ g(y) = \int_{-\infty}^{\infty}f_X(y-t)f_E(t)dt, $$ por lo tanto, $$ \frac{g_1(y_1)}{g_2(y_1)} = \frac{\int_{-\infty}^{\infty}f_{X_1}(y_1-t)f_E(t)dt}{\int_{-\infty}^{\infty}f_{X_2}(y_1-t)f_E(t)dt} . $$ Estoy nota seguro que es sencillo afirmar que esta desigualdad $$ \frac{f_{X_1}(x_1)}{f_{X_2}(x_1)} \ge \frac{f_{X_1}(x_0)}{f_{X_2}(x_0)}, $$ conserva bajo la convolución, es decir, implica que $$ \frac{\int_{-\infty}^{\infty}f_{X_1}(y_1-t)f_E(t)dt}{\int_{-\infty}^{\infty}f_{X_2}(y_1-t)f_E(t)dt} \ge \frac{\int_{-\infty}^{\infty}f_{X_1}(y_0-t)f_E(t)dt}{\int_{-\infty}^{\infty}f_{X_2}(y_0-t)f_E(t)dt}, \forall y_1 \ge y_0. $$

Podemos inspeccionar un caso muy simple. Deje $X \sim N(\mu, \sigma^2)$$e \sim N(0,1)$, cuando son independientes de r.vs, lo $X+e = Y \sim N(\mu, \sigma^2+1)$. En este caso claramente el original de la monotonía se conserva, ya que sólo el agrandamiento de la varianza (dispersión) de cada una de las $X_i$. Sin embargo, no estoy seguro de que todos los posibles convolución de preservar una buena propiedad.