Altura máxima de subgrupos en$S_n$?

Question

En el proceso de resolución de un poco de ejercicio, me dio curiosidad acerca de la altura máxima de una cadena de subgrupos en $S_n$.

Más específicamente, ¿cuál es la máxima longitud k de una cadena de subgrupos $\{e\} \subset H_1 \subset \ldots \subset H_k = S_n$, donde no hay condiciones adicionales que se imponen en los subgrupos otra de las inclusiones de ser apropiado.

¿Alguien sabe los resultados en esta dirección? Se siente un poco más allá de mis capacidades actuales.

Mis búsquedas de google para el máximo de la serie me conecta a los resultados sobre la composición de la serie, el jefe de la serie, que ya estoy familiarizado con. ¿Hay alguna razón por la que la serie de subgrupos (en un grupo finito) es interesante en general? (Supongo que son sin duda menos interesante que su serie normal de los primos, ya que la diferencia entre los términos sucesivos no puede ser medido por un grupo...)

Gracias de antemano.

Answer 1

Este valor es conocido. La longitud de los más largos de los subgrupos de la cadena en $S_{n}$ está dado por $$\left\lceil\frac{3n}{2}\right\rceil - b(n) - 1,$$ donde $b(n)$ es el número de $1$s en la base de $2$ representación de $n$.

Referencia: P. J. Cameron, Solomon R. y A. Turull, Cadenas de subgrupos en grupos simétricos, J. Álgebra 127 (1989), 340-352.

También hay un artículo anterior:

Referencia: L. Babai, En la longitud de los subgrupos de las cadenas en el grupo simétrico, Comm. Álgebra 14 (1986), 1729-1736,

en el que el límite superior $2n-1$ está establecido.

Una razón de por qué una larga cadena que es interesante es que su longitud proporciona un límite en el número mínimo de generadores para cualquier subgrupo. En particular, para el caso de $S_{n}$, el límite anterior proporciona una cota superior para el número mínimo de generadores de cualquier permutación de grupo de grado $n$.